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六导数的几何表示法（第1页）

六、导数的几何表示法

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“无限小”

的计算法，这真可以算得是一件宝货，你在数学的园地中走去走来，差不多都可以见着它。

在几何的院落里，特别可以看出它是怎样地玲珑。

老实说，几何的院落现在这般地繁荣美丽，受它的恩赐很不少。

牛顿把它发现了，莱布尼茨也把它发现了。

但是他们俩并没有打过招呼，所以各人走的路也不同。

莱布尼茨是在几何的院落里玩得兴致很浓，想在那里面加上些点缀，为了要解决一个极有趣味的问题，才发现了“无限小”

这宝货，而且将它尽量地玩弄。

你在几何中，“切线”

这一个名字，总不知碰见它过多少次了。

所谓切线，照通常的说法，就是和一条曲线除了一点相挨着，再也不会和它相碰的那样一条直线。

莱布尼茨在几何的园地中，津津有味地所要解决的问题就是：在任意一条曲线上的随便一点，要引一根切线的方法。

有些曲线，比如圆或椭圆，在它们的上面随便一点，要引一根切线，这个方法学过几何的人都已知道了的。

但是对于别的曲线，依了样却不能就把那葫芦画得出来。

究竟一般的方法是怎样的呢？在几何的院落里，曾有许多人想找出打开这道门的锁匙，但都被它逃走了！

和莱布尼茨同时游赏数学的园地，而且在里面去加上些建筑或装饰的人，曾经找到过一条适当而且开阔的路去探寻各种曲线的堂奥：笛卡尔就在代数和几何两座院落当中筑了一条通路，这便是挂着“解析几何”

这块牌子的那些地方。

依了解析几何的方法，数学的关系可用几何的图形表示出来，而一条曲线也可以用等式的形式去记录它。

这个方法真有点神异，是不是？但是仔细追根究底，却非常简单，到了现在，我们看着简直是很平淡无奇了。

然而，这条道路若不是像笛卡尔那样的才能是建筑不起来的！

要说明这个方法的用场，我们也先来举一个顶顶简单的例子。

你取一页白色的纸，钉在桌面上，并且预备好一把尺子、一块三角板、一支铅笔和一条橡皮。

你用你的铅笔在那纸上作一个小黑点，马上就用橡皮将它擦去。

你有什么方法能够将那个黑点的位置再找出来吗？你真将它擦到一点痕迹都不留，无论如何你再也没法去找回它来了。

所以在一页纸上，要定一个点的位置，这种方法非常重要。

要定出一个点在纸面的位置的方法，实在不止一个，还是选一个容易明白的吧。

你用三角板和铅笔，在纸上画一条水平线OH和一条垂直线OV。

假如P是那位置应当确定的点，你由P引两条直线，一条水平的和一条垂直的（图中的虚线），这两条直线和前面画的两条，比如说相交在a点和b点，你就用尺子去量Oa和Ob。

设若量了出来Oa等于3厘米，Ob等于4厘米。

现在你把所画的P点和那两条虚线都用橡皮擦了去，只留下用作标准的两条直线OH和OV，这样你只需注意到Oa和Ob两距离。

P点就可以很容易地再找出来。

实际就是这样做法：从O点起在水平线OH上量出3厘米的一点a，再还是从O点起，在垂直线OV上量出4厘米的一点b。

跟着，从a画一条垂直线，又从b画一条水平线。

你是已经知道的，这两条线会相碰着，这相碰的一点，便是你所再要找的P点。