五二小说网

手机浏览器扫描二维码访问

十王老头子的汤圆（第2页）

（2）若王老头子的汤圆是照第二图的形式堆，那么，

所以，他若是也只堆十层，总数便是：

（3）这一种不但和层数有关系，并且与顶上一层的个数也有关系，设顶上一层有p个，则

举个例说，若第一层有五个，总共有十层，就是p等于5，n等于10，则

（4）自然这种和第一层的个数也有关系，而第一层既然也是矩形，它的个数就和这矩形的长、阔两边的个数有关。

设顶上一层长边有a个，阔边有b个，则

举个例说，若第一层的长边有五个，阔边有三个，总共有十层，就是a等于5，b等于3，n等于10，则

不用说，已经有公式，只要照它计算出一个总数，是很容易的。

不过，我们的问题是这公式是怎样得来的。

要证明这公式，有三种方法。

三

第一就说数学的归纳法的证明。

什么叫数学的归纳法，在堆罗汉中已经说过，这里要证明的第一个公式，也是那篇里已证明过的。

为了那些不曾看过那篇的读者，只好简略地说一说所谓数学的归纳法，总共含有三个步骤：

（Ⅰ）就几个特殊的数，发现一个共同的式子。

（Ⅱ）假定这式子对于n是对的，而造出一个公式来。

（Ⅲ）设n变成了n+1，看这式子的形式是否改变。

若不曾改变，那么，这式子就成立了。

因为由（Ⅱ）已经知道这式子关于n是对的，关于n+1也是对的。

而由（Ⅰ）已知它关于几个特殊的数是对的——其实有一个就够了。

不过（Ⅰ）只由一个特殊的数要发现较普遍的公式的形式比较困难——设若关于2是对的，那么关于2加1也是对的。

2加1是3，关于3是对的，自然关于3加1“4”

也是对的。

这样一步一步地往上推，关于4加1“5”

，5加1“6”

，6加1“7”

……就都对了。

以下就用这方法来证明上面的公式：

王老头子的汤圆的堆法，各层都是正方形，顶上一层是一个，第二层一边是二个，第三层一边是三个，第四层一边是四个……这样到第n层，一边便是n个。

而正方形的面积，这是大家都已经知道的，等于一边的长的平方。

所以若就各层的个数说，王老头子每夜所做的汤圆便是：

第一步我们容易知道：

第二步，我们就假定这式子关于n是对的，而得公式：

这就到了第三步，这假定的公式对于n+1也对吗？我们在这假定的公式中，两边都加上（n+1）2这便是Sn+1，所以

这最后的形式和我们所假定的公式完全一样，所以我们的假定是对的。

这公式是用于正三角锥形的，所谓正三角锥形，第一层是一个，第二层是一个加二个，第三层是一个加二个加三个，第四层是一个加二个加三个加四个……这样推下去到第n层便是：

1+2+3+4+……+n

而总和便是：

Sn=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+……+（1+2+3+4+……+n）

第一步，我们找出，