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八局部诱导函数和全部的变化（第1页）

八、局部诱导函数和全部的变化

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朋友，你对火柴盒一定不陌生吧？它是长方形的，有长，有宽，又有高，这你都知道，不是吗？对于这种有长、有宽，又有高的东西，我们要计算它的大小，就得算出它的体积。

算这种火柴盒的体积的方法，算术里已经讲过了，是把它的长、宽、高相乘。

因此，这三个数中若有一个变了一点儿，它的体积也就跟着变了，所以可以说火柴盒的体积是这三个量的函数：设若它的长是a，宽是b，高是c，体积是v，我们就可得出下面的式子：

假如你的火柴盒是燮昌公司的，我的却是丹凤公司的，你一定要和我争，说你的火柴盒的体积比我的大。

朋友！

空口说白话，绝对不能让我心服，你有办法向我证明吗？你只好将它们的长、宽、高都比一比，找出燮昌的盒子有一边，或两边，甚至三边，都比丹凤的盒子要长些，你真能这样，我自然只好哑口无言了。

我们借这个小问题做引子，来看看火柴盒这类东西的体积的变化是怎样的。

先假设它的长a，宽b和高c都是可以随我们的意思伸缩的，再假设它们的变化是连续的，好像你用打气筒套在足球的橡皮胆上打气一样。

火柴盒的三边既然是连续地变，它的体积自然也得跟着连续地变，而恰好是三个变数a，b，c的连续函数。

到了这里，我们就有了一个问题：“当这三个变数同时连续地变的时候，它们的函数v的无限小的变化，我们怎样去测量呢？”

以前，为了要计算无限小的变化，我们请出了一件法宝——诱导函数来，不过那时的函数是只依赖着一个变数的。

现在，我们就来看这件法宝碰到了几个变数的函数时，还灵不灵。

第一步，我们能够将下面的一个体积，

由以下将要说到的非常简便的方法变成一个新体积：

开始，我们将这体积的宽b1和高c1保持原样，不让它改变，只使长a1加大一点儿变成a2。

接着，将a2和c1保持原样，只让宽b1变到b2。

最后，将a2和b2保持原样，只将c1变到c2。

这种方法，我们用了三个步骤使体积v1变到v2的，每一次我们都只让一个变数改变。

只依赖着一个变数的函数，它的变化，我们以前是用这个函数的诱导函数来表示。

同样的理由，我们每次都可以得出一个诱导函数来。

不过这里所得的诱导函数，都只能表示那函数的局部的变化，因此我们就替它们取一个名字叫“局部诱导函数”

。

从前我们表示y对于x的诱导函数用dy表示，现dx在，对于局部诱导函数我们也用和它相似的符号表示，就是：

第一个表示只将a当变数，第二个和第三个相应地表示只将b或c当变数。

你将前面说过的关于微分的式子记起来吧！

dy=y′dx

同样地，若要找v的变化dv，那就得将它三边的变化加起来，所以：

dv这个东西，在数学上管它叫“总微分”

或“全微分”

。

由上面的例子，推到一般的情形，我们就可以说：“几个变数的函数，它的全部变化，可以用它的总微分表示。

这总微分呢，便等于这函数对于各变数的局部微分的和。”

所以要求出一个函数的总微分，必须分次求出它对于每一个变数的局部诱导函数。