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02 概率的运作 The Workings of Probability（第4页）

两个以上的事件

由许多事件组成的集合中的一些事件发生与否，并不影响任何其他事件的概率时，这些事件就被描述为独立的。

在这种情况下，乘法定理意味着，以任何方式从这个集合中选取事件，它们均发生的概率仅仅是它们各自的概率的乘积。

但是在3个或者更多的事件不是独立的时候，我们如何得到它们均发生的概率呢？例如惠斯特纸牌和桥牌[1]游戏中，纸牌都被随机洗好然后等量地分给四个玩家。

他们全都恰好抽到一张A的可能性有多大？

考虑4个单独的事件：甲恰好抽到一张A，乙恰好抽到一张A，丙恰好抽到一张A，丁恰好抽到一张A[2]。

显而易见，这4个事件并不是独立的，因为如果任意3个均发生的时候，最后一个就一定发生了。

我们会通过一个三段式过程来得到它们均发生的概率。

首先，我们计算甲恰好抽到一张A的概率。

假设所有可能的分牌方式都是等可能的，我们有了一个计算练习：计算可能的分牌方式的总数，然后计算甲恰好抽到一张A的方式有多少种。

相信我，这个概率算下来略低于44%。

假设甲只有一张A（因此有12张非A）。

这就给其他的玩家留下了3张A和36张非A，同时乙随机地抽取了其中的13张。

对这个较小的牌堆，相似的计数过程指出乙恰好抽到一张A的概率略低于46%。

乘法定理告诉我们，两个事件，即甲和乙均恰好抽到一张A发生的概率是这两个值的乘积，略高于20%。

现在我们假设甲和乙每个人都恰好有一张A。

然后丙从剩下的两张A和24张非A中随机地取13张牌：他恰好得到一张A的概率是52%。

最后一步就是再一次使用乘法定理，将最后的两个计算过程组合起来：甲、乙和丙均恰好抽到一张A的概率略高于10%。

如果这发生了，丁就不可避免地得到最后一张A，所以我们找到了我们所寻求的答案。

虽然分牌是随机的，最公平的A的分配却是颇不可能的。

这个答案本身没有什么实际意义，但我们使用的方法是具有普遍意义的。

为了得到集合中每一个事件均发生的概率，就应该将整个过程分成若干阶段。

找到一个事件的概率；然后，假设这个事件真的发生，再找到第二个事件的概率；再假设前两者均发生，找到第三个事件的概率；然后假设前三者均发生，找到第四个事件的概率——以此类推。

最终，将所有的数据相乘。

在其他情形中我们是否也要依照这个过程？假设我的交通行程有三个阶段，并且我可以评估它们各自不延迟的概率：但所有阶段都会受天气影响，并且一个阶段延迟与否会改变其他阶段延迟的概率。

在制造业中，一件生产设备的安全依赖于数个并不独立工作的组件——其中的一些可能使用相同的供水系统，另一些可能由同一个不可靠的员工做了不充分的测试。

在手术中，可能会出现问题的事情和其他事情是否独立会对全部过程能够顺利进行的概率产生巨大的影响。

如果事件是相互独立的，那么它们全都发生的概率就只是它们各自概率的乘积。

但我们很少会足够幸运地处于这种情况，实际上在一个分段的评估中，随着工作的推进概率在不断变化，这是一种常态。

三个或者更多的事件中至少一个发生的概率是多少呢？加法定理的确可以拓展到这种情况，然而因为这个表达式实在是难以处理，我不会在这儿写下来。

它的推导过程与之前描述过的将乘法定理应用于许多事件均发生时所使用的过程一样：一步一步来。

将独立当作互斥是常见的错误，反之亦然。

随机地抽取一张牌的例子会帮助你认识到如何避免它。

这里，“抽到一张黑桃”

和“抽到一张梅花”

这两个事件是互斥的，但绝不是相互独立的，因为如果二者之中任何一个发生了，另一个就不可能发生，所以两个同时发生的概率是0。