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02 永无穷尽的素数 The Unending Sequence of Primes（第1页）

02永无穷尽的素数TheUnendingSequenes

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镶嵌在数的拼图中的素数

我们怎样才能确定素数不会越来越稀少，最终逐渐消失殆尽呢？你可能会认为由于有无穷多自然数，而每一个都可以被分解为素数的乘积（这一点我们一会儿仔细解释），那么必然得有无穷多个素数才能承担这一工作。

虽然这个结论是正确的，但它并不能从上述观察中得出。

这是因为如果我们从有限个素数开始，仅使用这些给定的素因数，我们就能制造出无穷多不同的数。

确实如此，任何单个素数都有无穷多个幂次。

比如，素数2的幂分别为2，4，8，16，32，64，…因而完全可以设想：只有有限多的素数，每个数都是那些素数的幂的乘积。

更糟的是，我们能构造出一个给定数的任意长度的幂数列，或它的任意多倍数列，却没法用同样的手段构造出一个由不同素数组成的无穷数列。

对于素数，我们还是得去搜寻，到底怎么才能确定它们不会绝迹？

在这一章结束的时候，我们便都会对这一点确定不疑了。

首先，请你注意素数的一个值得一提的简单“规律”

。

除了2和3以外的每一个素数，都与一个6的倍数相邻。

换句话说，在这两个数之后的每一个素数，都是像6n±1这样的形式，这里n是某个确定的数。

（记住6n是6×n的缩写，符号±意思是加或减。

）原因很好理解：每个数都一定可以写成以下6种形式中的一种：6n，6n±1，6n±2，6n+3，因为没有数与6的某个倍数距离超过3。

例如，17=（6×3）-1，28=（6×5）-2，57=（6×9）+3。

事实上，这6个形式的数是循环出现的，这意味着当你写下任意6个连续的数，6种形式每个都会出现且仅出现1次。

在这之后它们会一遍又一遍地循环出现，并且出现的顺序总是相同的。

很显然6n和6n+2形式的数都是偶数。

而任何形如6n+3的数都可以被3整除。

因此，除了很显然的例外2和3，只有形如6n±1的数可能是素数。

如果6n±1两者都是素数，这种情况恰好对应于孪生素数：比如（6×18）±1给出一对数107和109，我们在第1章中提到过它们。

你可能会猜测每对6n±1中至少有1个是素数——这对于100以下的素数来说的确是对的，但往前不远就存在着第一个例外：（6×20）-1=119=7×17，（6×20）+1=121=11×11。

当n=20时这两个数都不是素数。

素数之所以重要，主要是因为每个数都可以写成一系列素数的乘积，并且这么做的方法本质上只有一种。

为了找到这个特别的分解，我们只需用某种方法分解这个给定的数，接着继续分解在因数中出现的合数，直到这样的分解不能再继续为止。

比如，我们可以说120=2×60，接着继续将合数因数60分解：

120=2×60=2×（2×30）=2×2×（2×15）=2×2×2×3×5.

我们说120的素因数分解（primefactorization）为23×3×5我们当然也可以用另一种途径得到这个结论。