五二小说网

手机浏览器扫描二维码访问

05 计数的数 Numbers That Count（第4页）

它也不是几何数列，因为相邻两项斐波那契数之比并不是常数。

但我们观察邻项之比的时候，它似乎在一个极限值附近稳定下来，而且这个比值很快就趋于稳定了。

让我们将每个斐波那契数除以它前一个数：

这个逐渐显露的神秘的数，1.6180…，到底是什么呢？这个数τ被称为黄金分割比，它也会出现在一些几何问题中，而这些问题看起来跟斐波那契的兔子相差十万八千里。

例如，τ是正五边形的对角线与边长之比（如图4）。

任意两条对角线的交点将它们各自分成两段，这两段长度之比也是τ∶1。

一对相交的边和一对相交的对角线构成一个菱形（一个“正方的”

平行四边形），即如图4中的ABCD。

所有对角线的交点又组成了一个小的倒立的五边形。

另一种获得τ的值的方法是通过它的连分数。

连分数能将τ和斐波那契数列直接联系起来，我们将在第7章中探索这一方法。

不断数下去，斐波那契数列看起来就像一个几何数列，它的公比是黄金分割比。

正是由于这一性质和它简单的构成规则，斐波那契数列无处不在。

斯特林数和贝尔数

像二项式系数一样，斯特林数[6]（Stirlingnumbers）经常在计数问题中出现。

它依赖于两个变量，n和r。

斯特林数S（n，r）是将一个有n个元素的集合分割成r个子块的方法的个数，每一块都非空，且无关于块的次序和块内部元素的顺序。

（严格地说这些称为第二类斯特林数。

第一类斯特林数与此相关，但代表了非常不同的东西，即将n个物体排列成r个环的方法总数。

）例如，含有元素a，b，c的集合只能以一种方式分成三块：{a}，{b}，{c}；或是以三种方式分成两块，分别是{a，b}，{c}和{a}，{b，c}和{a，c}，{b}；或是以唯一一种方式分成一块：{a，b，c}。

因此S（3，1）=1，S（3，2）=3以及S（3，3）=1。

由于将一个n元素集合分割为一块或是n块都只有一种方式，因此S（n，1）=1=S（n，n）。

如果我们仿照帕斯卡三角形，也将斯特林数放置在一个三角形中，将得到如图5所示的阵列。

现在我们来解释这个三角形是如何产生的。

这些数也满足了一个递推关系，意味着每个数都联系到阵列中之前的数。

就像二项式系数一样，每个斯特林数都可以由它上方的两个数生成，但这次不再是简单的加和。

另外，我们看到二项式系数生成的算术三角形具有行对称性，这在斯特林三角形中不再成立。

如S（5，2）=15，然而S（5，4）=10。

不过递推规则依然简单。

比如，90这一项等于15+3×25。

这其实揭示了一般情形：要找到三角形中的某个数，取其上方的两个数，将第二个数乘以当前未知数所在的（自身行内的）列数，再加上第一个数。

（不同于算术三角形，这次列数从1开始计。

）用类似的方法，S（5，4）=10=6+4×1。

以上计算规则中只有加粗的部分跟算术三角形的情形不同，但这足以使对斯特林数的研究难度大大超过二项式系数。

举个例子，我们推导出了一个简单的、基于阶乘的显式公式，可以计算所有二项式系数。

类似地，第n个斐波那契数也有一个基于黄金分割比的幂次的通项公式[7]，但是对于斯特林数，还没有这类公式为人所掌握。