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05 计数的数 Numbers That Count（第6页）

这一对称性表明两种类型的分拆方案数是相等的：一种是m为结果中最大的数的分拆（即顶端行有m个点），它的共轭是一个有m行的分拆，即拆分为m个数。

例如，将17拆分为6个数的方案数，等于将17拆分使得最大数为6的方案数。

冰雹数

尽管不是一种计数工具，冰雹数（hailstonenumbers）仍然耐人寻味，因为它也是被递推定义的，不过这个数列更像我们在第3章中遇到的真因数和数列。

以下问题有好几个名字，考拉兹算法（Collatzalgorithm）、叙拉古问题（Syra），或者有时就叫3n+1问题[10]。

它基于一个简单的观察，即从任意数n开始，经过以下步骤似乎最终总是得到1：若n是偶数，将其除以2；若n是奇数，用3n+1代替它。

例如，从n=7开始，我们按照这些规则得到以下数列：

7→22→11→34→17→52→26→13→40

→20→10→5→16→8→4→2→1.

于是这一猜想对n=7成立。

实际上该猜想已经被证实对于直到一万亿以上的某个数都是正确的[11]。

但是如果你乱动了规则，事情就大不一样了。

比如，用3n-1代替3n+1会导致一个循环：

7→20→10→5→14→7→….

考拉兹算法产生的数列类似于冰雹，在很长一段时间内它们的取值大起大落，但最终似乎总会降落到地面。

在前1000个正整数中，有超过350个数上升到最大高度9232，而后则迅速跌落到1。

一旦你遇到2的幂次，就会最终得到1，因为之后这些数不会经历任何爬升，只能一路衰减到底。

所有这些奇妙的特性都可以在基于冰雹数列的图像中被发现，这让人不禁联想起数学和物理中出现的其他混沌现象。

在搜索引擎中输入“冰雹数”

，你会找到一大堆信息，这些信息往往看上去奇妙异常，有时候是猜想性质的，但通常不能给出一个确定的结论。

[1]　即等比数列。

[2]　该公式中r≠1。

[3]　即杨辉三角形。

[4]　朱世杰，字汉卿，号松庭，元代数学家和教育家。

[5]　尤金·查理·卡特兰（Eugèalan），法国和比利时数学家。

[6]　詹姆斯·斯特林（JamesStirling），苏格兰数学家。

埃里克·坦普尔·贝尔（EricTempleBell），英国数学家、科幻小说家。

[7]　如果可以将数列{an}的第n项用一个含参数n的式子表示出来，则称该式为该数列的通项公式。

[8]　又称拆分数或分割数。

[9]　又称杨氏矩阵。

[10]　又名考拉兹猜想、叙拉古猜想、3n+1猜想、奇偶归一猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想。

[11]　世界各地的数学爱好者们利用分布式计算，不断地提高这个极限。

已知的猜想成立的最大整数似乎已超过1020（一亿亿的一百倍），而仍未找到反例。

有兴趣的读者可以参考以下网站：https:boiags.collatz，.eridrous。