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06 数之冰山的水下部分 Below the Waterl ine of the Number Iceberg（第2页）

在第7章中我们会再次用到这个技巧，那里我们将介绍所谓的连分数（uedfra）。

分数这一类别是否提供了我们可能需要的所有数了呢？正如之前提到的，所有分数以及它们的负数的总合，形成了被称为有理数的集合，也就是由整的数和它们之间的比值所产生的所有的数。

它们对于算术来说是足够的，这意味着，涉及加、减、乘、除四种基本运算的任何结果都不会将你带出有理数的范围。

如果我们对此感到满意，那么这个数集就是我们所需的。

不过，在下面的小节，我们来解释为什么像上面的a那样的数不是有理的。

无理数

使用类似的推理，我们能够证明，一般取一个数的平方根（或是立方根甚至是更高次方根）的时候，答案如果不是一个整数，就总是一个无理数。

这就解释了当你计算方根的时候，为什么你的计算器上显示的小数从来都没有循环的迹象。

这个问题在古典时代（classicaltimes）一直无人问津。

直到1837年皮埃尔·汪策尔（PierreWantzel）才将其“盖棺定论”

：2的立方根在欧几里得工具所能到达的范围之外。

这么晚是因为我们需要一种精确的代数来描述古典工具能达到的极限，这样才能看出2的立方根从根本上讲是一种不同类型的数。

实际上，最后这可以归结为证明用平方根和有理数永远不可能造出立方根。

这样说的话，这个不可能性听起来似乎更合理一些了。

当然，这还不能构成一条证明。

超越数

无理数中还存在着神秘的超越数（traal）家族。

这些数不能由普通的算术运算或是求方根得出。

在给出精确的定义之前，我们先介绍与之互补的集合，代数数（algebraiumber），其中每个数都是一个拥有整数系数的多项式方程的解。

例如，x5-3x+1=0就是这样的一个方程。

超越数则被定义为非代数数。

到底有没有这种数呢？答案完全不明显。

不过，它们确实是存在的，只是它们的社群十分隐秘，其中每个成员都对自己的会员身份讳莫如深。

比如π这个数就是超越数的一例，但这不是一目了然的事情。

在下一章中，我们将要探索无限集合的性质，那时候我们会解释为什么“大部分”

数都是超越的，我们会严密地阐释这个“大部分”

的含义。

另一种产生神秘的e的方法是将阶乘的倒数相加。

这也是一种以很高精度计算e的途径，因为这个级数（series[3]）的各项迅速趋近于0，于是级数本身会很快收敛：

实的和虚的

本书的前五章主要都在和正整数打交道。

我们强调了整数的因数分解性质，这引导我们去考虑不具有真正分解的数——也就是素数，这个集合在现代密码学中占据了举足轻重的位置。

我们还了解了一些具体类型的数，比如和完美数有紧密联系的梅森素数。

我们耐心地介绍了一些特殊的整数，对某些自然出现的集合计数的时候，它们扮演重要的角色。

在所有这些数当中，大背景都是整数系统，即自然数、它们的负值以及0。

在这一章我们走出了整数的范围，首先是进入有理数的地界（分数，包括正的和负的），接着又走进了无理数。

在无理数这个类别中我们认识了超越数。

所有这一切背后的基础是实数系统，实数可以看作所有可能的小数展开式的集合。

任何正实数都可以用r=n.a1a2…的形式来表示，这里n是一个非负整数，小数点后面跟着一串无穷多的数字组成的尾巴。