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03 完美的和不那么完美的数（第1页）

03完美的和不那么完美的数

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数的完美性

对于取值小的数，我们通常能轻易找到特殊的性质来刻画它们，比如，3是唯一等于之前所有数之和的数，而2是仅有的偶素数（这使得它成为最怪异的素数）。

6这个数有个独一无二的性质，它既是所有小于自身的因数的和，也是它们的乘积：6=1＋2＋3=1×2×3。

毕达哥拉斯学派将6这样的数称作完美数[1]（perfeumber），意思是这个数是其所有真因数之和。

对于一个数，我们把严格小于这个数本身的因数叫作它的真因数。

这种完美性着实罕见。

前5个完美数是6，28，496，8128和33550336。

对于这些偶的完美数我们已经了解了很多，然而直至今日，依然没有人能回答古代人提出的基本问题，即是否有无穷多个这类特殊的数。

另外，没有人找到过一个奇的完美数，也没有证明其不存在。

任何奇完美数必然极其地大，并且由于奇完美性，这个数必须满足一长串特殊的性质。

但是，所有这些限制条件还不足以排除这样一个数存在的可能——可以想象，这些特殊性质会引导我们去搜寻还未曾现身的第一个奇完美数，它可能只是在等着被发现。

欧几里得早就发现，偶完美数与一列非常特殊的素数有紧密的联系。

它们被称为梅森素数（Mersenneprime），是以17世纪的法国教士马兰·梅森（MarinMersenne，1588——1648）命名的。

梅森数（Mersennenumber）是形如2p-1的数，这里的p是一个素数。

举个例子，如果你取前四个素数2，3，5和7，那么可以看出前四个梅森数是3，7，31和127。

读者朋友可以很快验证它们都是素数。

如果p不是素数，比方说p=ab，那么m=2p-1当然也不是素数，因为可以验证在这种情况下m含有因数2a-1。

倘若p为素数，则对应的梅森数常常是素数，至少在我们看来是这样的。

早在公元前300年，欧几里得就阐释过：一旦你有一个梅森素数，那么就存在一个与之对应的完美数，即p=2p-1（2p-1）。

读者朋友可以迅速验证，前四个梅森素数确实给出上面所说的前四个完美数。

例如，用第三个素数5作为种子，我们得到完美数p=24（25-1）=16×31=496，即前述列表里第三个完美数。

P的因数是直到2p-1的2的各次幂，以及这些数乘上素数2p-1。

现在剩下要做的就只是一项练习了：将所谓的几何数列（将在第5章中解释）求和，以便检查P的真因数之和确实是P。

在18世纪，伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）进一步证明了上述论断的逆命题，即每一个偶完美数都属于这一类型。

这样，欧几里得和欧拉共同建立了一个梅森素数和偶完美数之间的一一对应关系。

可是，下一个问题出现了：所有的梅森数都是素数吗？很遗憾，并非如此。

失败仅咫尺之遥，因为第五个梅森数等于211-1=2047=23×89。

的确，我们甚至不知道梅森素数的数列是否会终结——也许最终，在某个点之后所有的梅森数都是合数。

尽管如此，梅森数依然是素数的候选，因为可以证明，一个梅森数m的任何真因数——假如存在的话——拥有2kp＋1这样的特定形式。

比如，当p=11，借助这个结论，我们只需检验被形如22k＋1的素数除的情况。

这两个素因数23和89，分别对应于值k=1和k=4。

这个关于梅森数因数的事实还带来一个意外之喜，它提供了第二种方法，使我们看出一定存在无穷多素数。

因为它表明，2p-1的最小素因数大于p，因而p不可能是最大的素数。

由于这适用于任意素数p，我们可以推断不存在最大的素数，于是素数数列可以永远延续下去。