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07 向无穷和更远出发（第1页）

07向无穷和更远出发！

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无穷之中的无穷

伽利略·伽利雷（GalileoGalilei，1564——1642）是16世纪意大利伟大的博学家，他提醒我们——无限集合和有限集合的性质有着根本上的不同。

正如本书第一页所暗示的，如果一个有限集合的元素可以和另一个集合的部分元素配对，那么第一个集合的大小就小于第二个。

然而，与此相反，我们可以用这种方法将无限集合与自身的子集对应起来（这里子集这个术语表示原集合内包含的一个集合）。

要理解这一点，我们都不需要超出自然数数列1，2，3，4，…。

我们可以轻易地举出这个集合的任意多个子集，它们都形成无限集合，从而与全集形成一一对应的关系（如图8）：奇数1，3，5，7，…；平方数1，4，9，16，…；不那么明显的素数2，3，5，7，…。

并且在每种情况下，其相应的补集（e），即偶数、非平方数及合数，也都是无穷的。

图8与自然数配对的偶数和平方数

希尔伯特旅馆

大卫·希尔伯特（DavidHilbert，1862——1943）是他那个年代最杰出的德国数学家。

一家十分奇特的旅馆总是与他的名字联系在一起，它生动地体现了无限集合的奇妙性质。

这家旅馆的主要特点是它有无穷多房间，用1，2，3，…来编号，还夸下海口，希尔伯特旅馆（HilbertHotel）总是有空房。

一天晚上，这家旅馆却客满了，也就是说每一间房里都住了一位客人。

令前台服务员沮丧的是，又一个客人出现了，并要住一间房。

幸好经理出手了，他把服务员拉到一边，教他如何处理这种情况，这才避免了尴尬的局面。

“让1号房的客人搬到2号房，”

他说，“2号房的搬到3号，以此类推。

换句话说，我们通知整个旅馆，要求n号房的客人换到n＋1号房中，这样1号房就可以空出来给这位客人了！”

因此你看，希尔伯特旅馆的确总是有空间的。

但是到底有多大空间呢？

第二天晚上，服务员面临着一个类似但更加考验人的情形。

这一次，一艘载着1729名乘客的太空飞船抵达了，所有人都闹着要在已经客满的旅馆中各自住进一间房。

不过前台服务员从前一晚吸取了经验，知道怎样推广之前的方法来应付这个额外的旅行团。

他让1号房的人去1730号房，2号房的换到1731号房，如此这般。

他发出了通知，要求n号房的客人搬进n＋1729号房间。

这就让1～1729号房都空了出来，给新来的人入住。

我们的服务员为自己独立处理了昨晚问题的新版本感到骄傲——他这么想也是完全合理的。

然而，最后一天晚上，服务员再次面临同样的情况——一家客满的旅馆，但是这次让他惊恐的不是仅仅出现了几名额外的客人，而是一辆无限大的星际快车，载着无穷多的旅客，每个自然数都对应一位客人。

焦头烂额的宾馆服务员告诉司机，这家旅馆已经满员，看不出有什么办法能容纳车上的全部旅客。

他或许可以塞下一两个，甚至也可以是任意有限个数，但绝无可能是无穷多的额外客人。

这就是不可能！