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5多项式曲线预测模型（第1页）

.5多项式曲线预测模型

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1.　一次多项式曲线（直线）预测模型

直线趋势模型的表达式为

y∧t=a+bt

经计算可知，该模型的一阶差分都为b，因此当时间序列的散点图近似于一条直线，或时间序列各期数据的一阶差分大致相等时，可用直线趋势预测模型对时间序列进行预测.

直线趋势模型相当于是以时间t作为解释变量的一元线性回归模型，因此估计模型中的系数a和b可用最小二乘法，这在第一节中已经讨论过了，公式如下：

b=n∑ni=1tiyi-∑ni=1ti∑ni=1yin∑ni=1t2i-∑ni=1ti2，a=1n∑ni=1yi-b1n∑ni=1ti

实际中，为了计算方便，通常把时间原点取在时间序列期数的正中间，即当时间序列有n=2m+1个数据时，取tm=0，上述公式中ti依次为-m，-（m-1），…，-1，0，1，…，m-1，m；当有n=2m个数据时，ti依次为-（2m-1），-（2m-3），…，-1，1，…，2m-1，2m-3.这样就有∑iti=0，上述公式就简化为

b=∑ni=1tiyi∑ni=1t2i，a=1n∑ni=1yi

例6.5已知某地区1999—2007年生产总值的资料如表65所示，试预测该地区2011年的生产总值.

表65某地区1999—2007年生产总值统计表单位：亿元

年份199920002001200220032004200520062007

生产总值505659646872778186

图62某地区生产总值的散点图（1999—2007）

解：该时间序列的散点图近似呈一条直线，且各期数据的一阶差分大致相等（见表66第三列），故建立直线趋势模型：y∧t=a+bt.由表65，可知∑yi=613，∑t2i=60，∑yiti=263，从而

b=∑ni=1tiyi∑ni=1t2i=26360=4.38，a=1n∑ni=1yi=6139=68.11

所以y∧t=68.11+4.38t.将2011年对应的时间t=8代入趋势模型，即可得到该地区2011年生产总值的预测值为y∧2011=68.11+4.38×8=103.15亿元.

表66直线趋势模型预测法计算表

年份生产总值yi一阶差分Δyi时间tit2iyiti

199950—-416-200

2000566-39-168

2001593-24-118

2002645-11-64

（续表）

年份生产总值yi一阶差分Δyi时间tit2iyiti

2003684000

20047241172

200577524154

200681439243

2007865416344

合计613—060263

2.　二次多项式曲线（抛物线）预测模型

二次抛物线趋势模型的表达式为

y∧t=b0+b1t+b2t2