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第9章 通往大学的高速公路（第1页）

徐辰也没有多问，平静地拉过一张椅子，在陈嘉平的办公桌对面坐下，拧开笔帽，开始思考。

第一题：【求所有的素数p和正整数n，使得n2+p-1整除n3+p3。

】

典型的整除与不定方程结合。

常规思路是利用同余性质，模p或者模n进行试探，又或者试图通过假设p的奇偶性来分类討论。

但这两种方法犹如盲人摸象，不仅计算量庞大，而且极易陷入死胡同。

徐辰的笔尖在草稿纸上悬停了半秒，大脑已经开始了高速运转。

问题的核心，在於左边的二次式n2和右边的三次式n3阶数不匹配，且n与p纠缠不清。

想要建立整除关係，必须想办法“降次”

並“剥离变量”

。

徐辰思考著：直接做多项式除法吗？会產生分式，不够优雅。

那就……主动构造一个中间项，把n3强行消掉！

这个念头如同一道闪电，数学天赋带给他超强的解题直觉！

他落笔了。

陈嘉平在一旁屏息凝神，他看到徐辰没有像普通竞赛生那样去穷举p=2，3，5，而是直接在草稿纸上写下了一行让他瞳孔骤缩的算式：

n（n2+p-1）=n3+np-n

陈嘉平眉头紧锁，构造这个有什么用？

紧接著，徐辰写下了堪称“神之一手”

的变形！

（n3+p3）-n（n2+p-1）=p3-n（p-1）

看到这一步，陈嘉平的呼吸瞬间停滯了！

他明白了！

他彻底明白了！

因为n2+p-1整除n3+p3，而它显然也整除n倍的自己。

两式相减，原先复杂的整除关係，瞬间坍缩成了：

n2+p-1│p3-n（p-1）

这一刀，直接切断了n的高次项干扰，將一个混沌的三次方程，降维打击成了一个关於p的约束分析！

一个cmo级別的难题，被这匪夷所思的一步，直接简化成了纯粹的代数討论！

徐辰的手速没有丝毫减慢。

“若右边为0，则p3=n（p-1）。

因p为质数，gcd（p，p-1）=1，故p-1=1，得p=2，n=8。”

“若右边不为0，利用绝对值不等式放缩……”

草稿纸上沙沙作响，另外两组解（3，1）和（3，4）如同瓮中之鱉，被精准地抓了出来。

徐辰从落笔到写完三组答案，全程不到三分钟。

他没有用任何晦涩的数论定理，仅仅用了一步极其精准的代数构造，就將这道国家集训队难度的“拦路虎”