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第五章 大一新生你说是研究生我都嫌年轻（第1页）

“开始证明。”

陆丰把图纸內容默记在心里，合上系统面板，从书包里掏出草稿纸开始推。

第一部分的数学基础还算扎实。

riemann-liouville分数阶导数的定义他在图纸上已经看过完整形式，核心是把整数阶导数的阶乘推广到gamma函数，然后用一个积分算子来定义任意阶的微分运算。

这一步他能跟上，毕竟下午刚把积分部分系统地过了一遍，底子还热乎著。

笔尖在草稿纸上飞快地划过，写满了第一张。

到caputo导数的时候，节奏慢了下来。

caputo的定义和r-l的区別在於微分和积分的顺序对调，这导致两者在处理初始条件时完全不同。

图纸上给的推导跳了好几步，中间省略的变换过程需要他自己补全。

陆丰盯著那个从caputo导数推到laplace变换的关键步骤，笔尖悬在纸面上方，迟迟没有落下。

这一步需要用到gamma函数的递推关係和beta函数的积分表示，而这两个东西他下午学的高数课本里根本没涉及。

“只能硬啃。”

推了半页纸，绕了个弯子，终於把Γ（α+1）=αΓ（α）这个关係式自己证了出来。

第二张草稿纸写满。

进入第二部分物理建模的时候，难度陡然上了一个台阶。

图纸上用分数阶微分方程替代了经典的弹簧-阻尼元件，构建出一个广义的scott-blair模型。

这个模型的核心思想是：真实材料的力学响应既不是纯弹性的（应力正比於应变），也不是纯黏性的（应力正比於应变率），而是介於两者之间的某种“分数阶”

行为。

这个概念陆丰能理解。

前世在工厂处理过太多橡胶密封件和高分子复合材料的问题，这些材料的应力鬆弛曲线用经典模型怎么擬合都对不上，总会偏。

当时他只知道“经典模型不够用”

，但不知道该怎么修正。

现在图纸告诉他用分数阶导数替代整数阶导数，一个参数α就能把弹性和黏性之间的过渡行为连续地描述出来。

“妙是真妙，但推导过程也是真难。”

到第三部分核心推导的时候，陆丰彻底卡住了。

图纸上用mittag-leffler函数作为分数阶微分方程的基本解，这个函数他压根没见过。

它的定义是一个无穷级数，形式上像是指数函数的推广，但收敛性质完全不同

图纸上直接给出了结论，中间的收敛性证明和laplace逆变换的过程全部跳过。

陆丰试著自己推，在草稿纸上写了大半页，发现怎么都走不通。

级数的逐项积分需要一致收敛的条件，而mittag-leffler函数在某些参数取值下的收敛性並不是显然的。

他换了个思路，试著从laplace变换的角度反过来推，先假设解的形式，再代入原方程验证。

又写了半页，走到一个需要用到留数定理的地方，卡死了。

复变函数的內容他还没学。

第三张、第四张草稿纸陆续写满，桌面上铺开了一片。

有些地方画了圈標註“待验证”

，有些地方直接划了叉表示此路不通。

陆丰放下笔，揉了揉太阳穴。