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第47章 数学竞赛开始开考九分钟一试就做完了（第4页）

是这题……真的简单到离谱。

【第一题：填空题（8分）】

【设函数f（x）=x3-3x+1，则f（f（1））的值为______。

】

江辰內心：“f（1）=-1，f（-1）=3，答案3。”

笔都没动，直接在答题卡上写：3。

【第二题：填空题（8分）】

【已知复数z满足|z|=1，则|z2-z+1|的最大值为______。

】

江辰內心：“单位圆上的点，用三角表示，最大值√3。”

写：√3。

【第三题：填空题（8分）】

【在△abc中，∠a=60°，bc=2，则ab·ac的最大值为______。

】

江辰內心：“余弦定理+均值不等式，最大值2。”

写：2。

【第四题：填空题（8分）】

【已知数列{an}满足a?=1，a_{n+1}=a_n+1a_n，则a????的整数部分为______。

】

江辰內心：“递推不等式放缩，整数部分89。”

写：89。

……

八道填空题，江辰连草稿纸都没碰。

眼睛扫过去，大脑自动计算，答案秒出。

不到一分钟，填空题全部搞定。

接下来是三道简答题。

【第九题（16分）】

【已知正实数x，y，z满足x+y+z=1，证明：（1x-1）（1y-1）（1z-1）≥8。

】

江辰扫了一眼，提笔就写：

“证法一：齐次化，令x=a（a+b+c）等，代入化简得等价於（a+b）（b+c）（c+a）≥8abc，由均值不等式显然成立。”

“证法二：直接展开，原式等价於证明（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz，由x+y+z=1得1-x=y+z≥2√（yz），同理，三式相乘即得。”

“证法三：换元法，令x=1（1+a）等，则条件化为1（1+a）+1（1+b）+1（1+c）=1，需证abc≥8，由条件可推出a+b+c≥6，再由均值得abc≥8。”

三种解法，行云流水。

两分钟写完。

【第十题（20分）】