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第 67 章 今有大树（第4页）

等等，好像有问题。

应该要取绝对值，所以应该是

ln|w-|w0-c|=kt

且由于ln函数的性质，w≠c，w0≠c。

等于c时，解微分方程那里不应该对dw除以w-c，而是应直接dwdt=0，故w恒等于c。

继续按w≠c，w0≠c推导，则有

ln|w-c||w0-c|=kt

|w-c||w0-c|=exp（kt）

若w0大于c，w大于c，或者w0小于c，w小于c，则

（w-c）（w0-c）=exp（kt）

结论和之前相同。

若w0大于c，w小于c，或者w0小于c，w大于c，则

（w-c）（c-w0）=exp（kt）

当个体财富初始值小于c时，后续个体财富恒大于c，反之亦然。

时间正向流动（t大于0），若k大于0，则exp（kt）大于1，则（w-c）大于（c-w0），个体财富与c的差距会随时间增长而……什么鬼？看来数学上的严谨，并不能带来现实中的严谨。

（二）王朝周期律

在生产力还需要向前发展之时，k等于0与k小于0显然并不现实。

然而k大于0导致的财富变化，会使得越来越多的穷者财富跌至生存线以下。

当生存线以下的人口达到一定比例时，王朝更迭。

而一切抑制兼并的措施（包括但不限于陵邑制度、福利救济、摊丁入亩、同等税率、累进税率），不过是减小k值而已，并不能将k值逆转为负。

分封制时期k值较小，所以王朝持续时间（T）更长，可至六七百年。

如今k值更大些，所以王朝持续时间（T）基本不到三百年。

接下来进行详细分析。

设总财富为W，总人口为N，则

第一部分的推导是在其他因素不变的情况下，然而真实世界中，总人口会增加（自然生育、鼓励生育、外来人口），亦会减少（战争、灾难、外流人口），总财富会增加（气候适宜、科技进步、生产组织方式进步、外来财富），亦会减少（气候不适、战争导致的生产停止、外流财富），所以c值虽然不随w变化，但会因为W和N而随时间变化。

而王朝更迭的缓解作用，可能一方面是由于财富重新分配，另一方面却是由于战争导致的人口锐减。

不过k值和T值的关系还是有些想当然，需要经过数学论证，而且k值与c值之间的关系也需要进行讨论。

设财富的概率密度函数为f（w），累积分布函数为F（w），生存线为ws，假设当生存线以下的人口比例达到S时，王朝更迭，那么有

c=∫_（-∞）~（+∞）

1=∫_（-∞）~（+∞）f（w）dw=F（+∞）

S=∫_（-∞）~（ws）f（w）dw=F（ws）

由于会有负债，所以下限没有设为0，上限亦无限制。

f（w）目前手里也没有数据，单纯知道期望及累积分布函数在某个点的取值，似乎也无法求出f（w），假设是正态分布似乎也不大合理。

可以试试公式变换，若是将

dwdt=k（w-c）

代入上述公式，则有

c=∫_0~twf（w）k（w-c）dt