五二小说网

手机浏览器扫描二维码访问

六堆罗汉（第3页）

但这样试验，一来未免笨拙，二来无论试验到什么数，我们总是一样地不能保证那公式便有了一般性，为此我们只得舍去了这种逐步试验的方法。

我们虽怀疑那公式的一般性，但无妨“假定”

它的形式是对的，再来加以检查，为了方便，容我在此重写一次：

在这三个式子中，我们说n代表一个整数，那么n以下的一个整数就应当是n+1。

假定这三个式子是对的，我们试来看看，当n变成n+1的时候是不是还对，这自然只是依照式子的“形式”

去考查，但这种考查我们用不着怀疑。

在某种意义上，数学便是符号的科学，也就是形式的科学。

所谓n变到n+1，无异于说，在各式的两边都加上一个含n+1项，照下面的程序计算：

从这三个式子的最后的结果看去，和我们所假定的式子，除了n改成n+1以外，形式完全相同。

因此，我们得出一个极重要的结论：“倘使我们的式子对于某一个整数，例如n，是对的，那么对于这个整数的下一个整数，例如（n+1），也是对的。”

事实上，我们已经观察出来了，这三个式子至少对于4都是对的。

运用这个结论，我们无需再试验，也就有理由可以断定它们对于5（4+1）都是对的。

既然对于5对了，那么同一理由，对于6（5+1）也是对的，再推下去对于7（6+1）、8（7+1）、9（8+1）……都是对的。

到了这里，我们就有理由承认这三个式子的一般性，再不容怀疑了。

这种证明法，我们叫它是数学的归纳法。

数学上常用的多是演绎法，这是学过数学的人都知道的。

关于堆罗汉这类级数的公式，算术上的证明法，也就是演绎的，为了便于比较，也将它写出。

本来：

S=1+2+3+……+（n_2）+（n_1）+n

若将这式子右边各项颠倒顺序，就得：S=n+（n_1）+（n_2）+……+3+2+1再将两式相加，便得出下面的式子：

两边再用2去除，于是：

这个式子和前面所得出来的完全一样，所以一点儿用不着怀疑，不过我们所用的方法究竟可不可靠也得注意。

一般说来，演绎法不大稳当，因为它的基础是建筑在一些更普遍的法则上面，倘使这些被它所凭借的、更普遍的法则当中，有几个或一个根本就不大稳固，那不是将有全盘动摇的危险吗？比如这个证明，第一步，将式子左边各项的顺序掉过，这是根据一个更普遍的法则叫作什么“交换定则”

的。

然而交换定则在一般情形固然可以运用无误，但在特殊的情形时，并非毫无问题。

所以假如我们肯追根究底的话，这个证明法可以适用交换定则，也得另有根据。

至于证明的第二、第三步，都是依据了数学上的公理，公理虽然没有什么证明做保障，但不容许怀疑，这可不必管它。

归纳法既比演绎法来得可靠，我们无妨再来探究一下。

前面我们所用过的步骤，归纳起来有四个：

（一）根据少数的数目来观察出一个共通的形式；

（二）将这形式推到一般去，“假定”

它是对的；

（三）校勘这假定的形式，是否再能往前推去；

（四）如果校勘的结果是肯定的，那么我们的假定就可认为合于事实了。

前面我们曾经说过：

由这几个式子我们知道：

观察这四个式子，可以得出一个共通形式，就是：左边是从1起的连续奇数的和，右边是这和所含奇数的“个数”

的平方。

将这形式推到一般去，假定它是对的，那就得出：