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六堆罗汉（第4页）

1+3+5+……+（2n_1）=n2

到了这一步，我们就要来校勘一下，这形式再往前推一个奇数究竟对不对，我们在式子的两边同时加上（2n_1）下面的一个奇数（2n+1），于是：

从这结果可知，我们的假定如果对于n是对的，那么对于（n+1）也是对的。

依我们的观察，假设n等于1、2、3、4的时候都是对的，所以对于5，对于6，对于7、8、9……一步一步地往前推都是对的，所以可认为我们的假定合于事实。

将数学的归纳法和一般的归纳法相比较，这是一个很有趣的问题。

大体来说，它俩并没有什么根本的差异。

我们无妨说数学的归纳法是一般的归纳法的一种特殊形式，试从我们所截取的步骤来比较一下。

第一步，在它俩当中，都离不开观察和实验，而观察和实验的对象也都同是一些特殊的事实。

在我们前面所举的例子当中，似乎只用到观察，并没有经过什么实验。

事实上，我们所研究的对象，有些固然是无法去实验，只能凭观察去探究。

不过这是另外一个问题。

若就步骤上说，我们所举的例子的第一步当中，也不是完全没有实验的意味。

比如最后一个例子，我们从1=12这个式子是什么意义也发现不出来，于是只好去看第二个式子1+3=22，就这个式子说，我们能够得出许多假定来。

前面所用过的，说左边要乘方的2就是表示右边的项数，这自然是其中的一个。

但我们也可以说，那指数2才是表示右边的项数。

我们又可以说，左边要乘方的2是右边的末一项减去1。

像这类的假定可以找出不少，至于这些假定当中哪一个接近真实，那就不得不用别的方法来证明。

到了这一步，我们无妨用各个假设到第三、第四个式子去试验一下，结果，便可看出，只有我们所用过的那一个是合于实际的。

一般的归纳法，最初也是这样下手，将我们所要研究的对象尽量收集起来，仔细地去观察，遇着必要且可能的时候，小心地去实验。

由这一步，我们就可以看出一些共同的现象来。

至于这些现象由何产生？会生出什么结果？或是它们当中有什么关联？这，我们往往可以提出若干假定来，正和我们上一节所说的相同，在这些假定当中，自然免不了有一部分是根基极不稳固的，只要凭一些仔细的观察或实验就可推翻的。

对于这些，自然在这第一步我们就可以将它们弃掉了。

第二步，数学的归纳法，是将我们所观察得到的形式推到一般去，假定它是真实的。

至于一般的归纳法，因为它所研究的并不一定只是一个形式的问题，所以推到一般去的话很难照样应用。

虽是这样，精神却没有什么不同，我们就是将自己观察和实验的结果综合起来，提出一些较普遍的假设。

有了这假设，进一步自然是要校勘它们，在数学的归纳法上，如前面所说过的，比较简单，只需将所假定的一般的式子当中的n推到n+1就够了。

若在一般的归纳法中，却没有这种便宜可讨。

到了这境地，我们得利用演绎法，把我们的假定当作大前题，臆测它们对于某种特殊的事象应当发生什么结果。

这结果究竟会不会有呢？这又得靠观察和实验来证明了。

经过若干的观察或实验，假如都证明了我们的臆测是分毫不爽的，那么，我们的假定就有了保障，成了一个定理或定律。

许多大科学家往往能令我们起敬、吃惊，有时他们简直好像一个大预言家，就是因为他们的假定的基础很稳固，所以臆测的结果也能合于事实的缘故。

在这里，有一点必须补说明白，若我们提出的假设不止一个，那么根据各个假设都可得出一些臆测的结果来，在没有别的事实来证明的时候，它们彼此之间绝没有什么价值的优劣可说。

但到了事实出来做最后的证人时，自然“最多”

只有一个假定的臆测可以胜诉。

换句话说，也“最多”

就只有一个假定是对的了。

为什么我们还要说“最多”

只有一个呢？因为，有些时候，我们所提出的假设也许全都不对。

一般的归纳法，应用起来虽不容易，但原理不过如此。