五二小说网

手机浏览器扫描二维码访问

十王老头子的汤圆（第4页）

而∑n便表示从1起，顺着加2，加3，加4……一直加到n的和。

同样地，

∑n（n+1）=1·2+2·3+3·4+4·5+……+n（n+1）

∑n2=12+22+32+42+……+n2

记好这个符号的用法和上面所说过的各种一般项，就可得出下面的四个式子：

（1）Sn=∑n2=12+22+32+42+……+n2

这样一来，我们可以看得很明白，只要将（1）求出，以下的三个就容易了。

关于（1）的求法运用数学的归纳法固然可以，即或不然，还可参照下面的方法计算。

我们知道：

13-03=3·12-3·1+1

若将这n个式子左边和左边加拢，右边和右边加拢，便得

这个结果和前面证过的一样，但来路比较清楚。

利用它，（2）（3）（4）便容易得出来。

五

前一种证明法，来得自然有根源，不像用数学的归纳法那样突兀。

但还有一点，不能使我们满意，不是吗？每个式子的分母都是1×2×3，就前面的证明看来，明明只应当是2×3，为什么要写成1×2×3呢？这一点，若再用其他方法来寻求这些公式，那就可以恍然大悟了。

这一种方法可以叫作差级数法。

所谓拟形级数，不过是差级数法的特别情形。

怎样叫差级数？算术级数就是差级数中最简单的一种，例如1、3、5、7、9……这是一个算术级数，因为3-1=5-3=7-5=9-7=……=2

但是，王老头子的汤圆的堆法，从顶上一层起，顺次是1、4、9、16、25……各各两项的差是4-1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9……

这些差全不相等，所以不能算是算术级数，但是这些差3、5、7、9……的每两项的差都是2。

再如第二种三角锥的堆法，从顶上起，各层的个数依次是1、3、6、10、15……各各两项的差是3-1=2，6-3=3，10-6=4，15-10=5……

这些差也全不相等，所以不是算术级数，不过它和前一种一样，这些差数依次两个的差是相等的，都是1。

我们来另找个例，如13、23、33、43、53、63……这些数立方之后便是1、8、27、64、125、216……而

（Ⅰ）8-1=7，27-8=19，64-27=37，125-64=61，216-125=91……

（Ⅱ）19-7=12，37-19=18，61-37=24，91-61=30……

（Ⅲ）18-12=6，24-18=6，30-24=6……

这是到第三次的差才相等的。

再来举一个例子，如2，20，90，272，650，1332……

（Ⅰ）20_2=18，90-20=70，272_90=182，650_272=378，1332_650=682……

（Ⅱ）70-18=52，182-70=112，378-182=196，682-378=304……

（Ⅲ）112-52=60，196-112=84，304-196=108……

（Ⅳ）84-60=24，108-84=24……

这是到第四次的差才相等的。

像这些例一般的一串数，照上面的方法一次一次地减下去，终究有一次的差是相等的，这一串数就称为差级数，第一次的差相等的叫一次差级数，第二次的差相等的叫二次差级数，第三次的差相等的叫三次差级数，第四次的差相等的叫四次差级数……第r次的差相等的叫r次差级数。

算术级数就是一次差级数，王老头子的一盘汤圆，各层就成一个二次差级数。

所谓拟形数就是差级数中的特殊的一种，它们相等的差才是1。

这是一件很有趣味的东西。

法国的大数学家布莱士·帕斯卡（BlaisePascal）在他1665年发表的《算术的三角论》（Traitédutriaique）中，就记述了这种级数的作法，他作了如后的一个三角形。