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十王老头子的汤圆（第5页）

这个三角形仔细玩赏一下，趣味非常丰富。

它对于从左上向右下的这条对角线是对称的，所以横着一排一排地看，和竖着一行一行地看，全是一样。

它的作法是：（Ⅰ）横、竖各写同数的1。

（Ⅱ）将同行的上一数和同排的左一数相加，便得本数。

即

1+1=2，1+2=3，1+3=4……2+1=3，3+3=6……3+1=4，6+4=10……

4+1=5，10+5=15……5+1=6，15+6=21……6+1=7，21+7=28……

7+1=8，28+8=36……8+1=9……

由这个作法，我们很容易知道它所包含的意味。

就竖行说（自然横排也一样），从左起，第一行是相等的差，第二行是一次差级数，每两项的差都是1。

第三行是二次差级数，因为第一次的差就是第二行的各数。

第四行是三次差级数，因为第一次的差就是第三行的各数，而第二次的差就是第二行的各数。

同样地，第五行是四次差级数，第六行是五次差级数……

这种玩意儿的性质，布莱士·帕斯卡有过不少的研究，他曾用这个算术三角形讨论组合，又用它发现许多关于概率的有趣味的东西。

上面已经说过了，王老头子的一盘汤圆，各层正好成一个二次差级数。

倘若我们能够知道计算一般差级数的和的公式，岂不是占了大大的便宜了吗？

对，我们就来讲这个。

让我们偷学布莱士·帕斯卡来作一个一般差级数的三角形。

差，英文是difference，和用S代Sum一般，如法炮制就用d代difference。

本来已够用了，然而我们还可以更别致一些，用一个相当于d的希腊字母Δ来代。

设差级数的一串数为u1，u2，u3……第一次的差为Δu1，Δu2，Δu3……第二次的差为Δ2u1，Δ2u2，Δ2u3……第三次的差为Δ3u1，Δ3u2，Δ3u3……这样一来，就得下面的三角形。

这个三角形的构成，实际上说，非常简单，下一排的数，总是它上一u5，排的左右两个数的差，即：加法可以说是减法的还原，因此由上面的关系，便可得出：

照样地，第二排当作第一排，第三排当作第二排，便可得：

把（1）（2）（3）三个式子一比较，右边各项的数系数是1，1；1，2，1；1，3，3，1。

这恰好相当于二项式（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，各展开式中各项的系数。

根据这个事实，依照数学的归纳法的步骤，我们无妨走进第二步，假定推到一般，而得出：

照前面的样子，把第n+1排作第一排，第n+2排作第二排，便可得：

将这两个式子相加，很巧就得：

这不是已将数学的归纳法的三步走完了吗？可见我们假定对于n的公式若是对的，那么，它对于n+1也是对的。

而事实上它对于1、2、3、4等都是对的，可见得它对于6、7、8……也是对的，所以推到一般都是对的。

倘若你还记得我们讲组合——见棕榄谜——时所用的符号，那么就可将这公式写得更简明一点：

这个式子所表示的是什么，你可知道？它就是用差级数的第一项，和各次差的第一项，表出这差级数的一般项。

假如王老头子的那一盘汤圆总共堆了十层，因为，这差级数的第一项u1是1，第一次差的第一项Δu1是3，第二次差的第一项Δ2u1是2，第三次以后的Δ3u1、Δ4u1都是0，所以第十层的汤圆的个数便是：

这个得数谁也用不到怀疑，王老头子的那盘汤圆的第十层，正是每边十个的正方形，总共恰好一百个。

我们要求的原是计算差级数和的公式，现在跑这野马干什么？

别着急！

朋友！

就来了！

再弄一个小小的戏法，保管你心满意足。