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十一假如我们有十二根手指（第7页）

这式子最后的一段中，（8-3）正是83的两数字的差，用9去乘它，便得出“9”

倍来。

但这9是从10减去1来的，10是十进记数法的底数。

将上面的证明法，推到一般去，设记数法的底数为r，十位数字为a1，个位数字为a2，则这两位数为a1r+a2，而它的两位数字对调后所成的数为a2r+a1。

所以

第一原理（a）应当这样说：

两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的（r+1）倍。

r是记数法的底数，在十进法为10，故（r+1）为“11”

；在十二进法为12，故（r+1）为13（照十进法说的），在十二进位法中便也是11（一什一）。

第二原理（b）应当这样说：

两位数和它的两数字对调后所成的数的差等于它的两数字差的（r-1）倍，在十进法为“9”

，在十二进法为“e”

。

由这样看来，前面所举的例题，在十二进法中是不能成立的，因为在十二进法中，42减去24所剩的是1t，而不是18，若照原题的形式改成十二进法，那应当是：“有二位数……若从这数中减什梯（1t）……”

它的计算法就完全一样，不过得出来的42是十二进法的四什二，而不是十进法的四十二。

（2）关于整数的倍数的性质，且就十进法和十二进法两种对照着举几条如下：

（a）十进法——5的倍数末位是5或0。

十二进法——6的倍数末位是6或0。

（b）十进法——9的倍数各数字的和是9的倍数。

十二进法——e的倍数各数字的和是e的倍数。

（c）十进法——11的倍数，各奇数位数字的和，同着各偶数位数字的和，这两者的差为11的倍数或零。

十二进法——形式和十进法的相同，只是就十二进法说的一什一，在十进法是一十三。

上面所举的三项中，（a）是看了九九表和“依依”

表就可明白的。

（b）（c）的证法在十进法和十二进法一样，我们还可以给它们一个一般的证法，试以（b）为例，（c）就可依样画葫芦了。

设记数法的底数为r，各位数字为a0，a1，a2……an-1，an。

各数字的和为S，则：

因为（rn-1）无论n是什么正整数都可以用（r-1）除尽，所以若用（r-1）除上式的两边，则右边所得的便是整数，设它是I，因而得

所以若N是（r-1）的倍数，S也应当是（r-1）的倍数，不然这个式子所表示的便不成为一个整数，等于一个整数和一个分数的和了，这是不合理的。

这是一般的证明，若把它特殊化，在十进法中（r-1）就是9，在十二进法中（r-1）便是e，由此便得（b）。

由这个证明，我们可以知道，在十进法中，3的倍数各数字的和是3的倍数。

而在十二进法中，这却不一定，因为在十进法中9是3的倍数，而在十二进法中e却不是3的倍数。

从这些例子看起来，假如我们有十二根手指，我们的记数法采用十二进法，与用十进法记数比较起来，无论在数的世界或在数学的世界所起的变化是有限的，而且假如我们能不依赖手指表数的话，用十二进法记数还便利些。

但是我们的文明，本是手的文明，又怎么能跳出这十根小宝贝的支配呢？