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十三集合论（第7页）

我们检查的时候，因为有些整数它的对儿里面已有了，所以没有放出来。

由此可见，我们新做成的整数总集不过包含整数的一部分，所以它也是E的局部总集。

但是我们前面说过，C的单元是E的局部总集，而且所有E的局部总集全部包含在C里面了，所以这个新的局部总集也应当是C的一个单元。

用Pt来代表这个新的总集，Pt就应当是第一行Pn当中的一个，因为第一行是所有的单元都排在那儿的。

既然Pt已经应当站在第一行里了，就应当有一个整数或是说E的一个单元来和它成对。

假定和Pt成对的整数是t。

朋友！

糟了！

这就碰钉子了！

你若还要硬撑场面，那么再做下去。

在这里我们又有两种可能的情况：

第一种：t是Pt的一部分，但是这回真碰钉子了。

Pt所包含的单元是在第一行中成对儿的单元所不包含在里面的整数，而Pt自己就是第一行的一个单元，这不是矛盾了吗？所以t不应当是Pt的一部分，这就到了下面的情况。

第二种：t不是Pt的一部分，这有可能把钉子避开吗？不行，不行，还是不行。

Pt是第一行的一个单元，t和它相对又不包含在里面，我们检查的时候，就把它放在一边了。

朋友，你看，这多么糟！

既然t被我们检查的时候放在了一边，而Pt就是这些被放在一边的整数的总集结果，t就应当是Pt的一部分。

这多么糟！

照第一种说法，t是Pt的一部分，不行；照第二种说法t不是Pt的一部分也不行。

说来说去都不行，只好回头了。

在E的单元当中，就没有和C的单元Pt成对的。

朋友，你还得注意，我们将两行的单元配对，原来是随意的，所以要是不承认E的单元里面没有和Pt配对的，这种钉子无论怎样我们都得碰。

第一次将E和C比较，已知道C的次数必是高于E的或等于E的。

现在比较下来，E的次数不能和C的相等，所以我们说C的次数高于E的。

归到最后的结果，就是我们前面所说的定理已证明了，有一个无限总集，我们就可做出次数高于它的无限总集来。

无限总集的理论，也有一个无限的广场展开在它的面前！

我们常常都能够比较这一个和那一个无限总集的次数吗？

我们能够将无限总集照它们次数的顺序排列吗？

所有这一类的难题目以及其他关于“无限”

的问题，都还没有在这个理论当中占有地盘。

不过这个理论既然已经具有相当的基础，又逐渐往前进展，这些问题总有解决的一天，毕竟现在我们对于“无限”

不会像从前一样感到惊奇不可思议了！

老实说，数学家们无论对于做这个理论的基础的一些假定，或是对于从里面探究出来的一些悖论的解释都还没有全部的理解。

然而，我们不用感到吃惊，一种新的理论产生正和一个婴儿的诞生一样，要他长大做一番惊人的事业，养育和保护都少不了！