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十三集合论（第6页）

随便想去，我们就会觉得它的次数要比整数的无限总集的高，而从别的方面证明起来，也验证了我们的直觉并没有错。

这样说来，我们的直觉很值得信赖。

但是，朋友！

你不要太乐观呀，在有些时候，纯粹的直觉就会叫你上当的。

你不相信吗？比如有一个正方形，它的一边是AB。

我问你，整个正方形内的点的总集，是不是比单只一边AB上的点的总集的次数要高些呢？凭我们的直觉，总要给它一个肯定的回答，但这你上当了，仔细去证明，它们俩的次数恰好相等。

总结以上的话，你记好下面的基本的定理：“若是有了一个无限总集，我们总能够做出一个次数比它高的来。”

要证明这个定理，我们就用整数的总集来做基础，那么，所有可枚举的无限总集也就不用再证明了。

为了说明简单些，我只随意再用一个总集。

照前面说过的，整数的总集是这样：

1，2，3，4，5……n，（n+1）……

就用E代表它。

凡是用E当中的单元所做成的总集，无论所含的单元的数有限或无限，都称它们为E的“局部总集”

，所以：

这些都是E的局部总集，我们用Pn来代表它们。

第一步，凡是用E的单元能够做成的局部总集，我们都将它们做尽。

第二步，我们就来做一个新的总集C，C的每一个单元都是E的一个局部总集Pn，而且所有E的局部总集全都包含在里面。

这样一来，C便成了E的一切局部总集的总集。

你把上面的条件记清楚，我们已来到要证明的重要地步了。

我们要证明C的次数比第一个总集E的高。

因此，还要重复说一次，比较两个总集的法则，你也务必将它记好。

我们必须要对于E的每一个单元都能从C当中取一个出来和它成对。

实际上只要依下面的方法配合就够了：

从这样的配合法中可以看出来，第二行只用到C单元的一部分，所以C的次数或是比E的高或是和E的相等。

我们能不能转过头来，对于C当中的每一个单元都从E当中取出一个和它成对呢？

假如能做到，那么E和C的次数是相等的。

假如不能做到，那么C的次数就高于E的。

我们无妨就假定能够做到，看会不会碰钉子！

算这种配合法的方法是有的，我们随便一对一对地将它们配合起来，写成下面的样子：

单就这两行看，第一行是所有的局部总集，就是所有C的单元都来了（因为我们要这样做）。

第二行却说不定，也许是一切的整数都有，也许只有一部分。

因为我们是对着第一行的单元取出来的，究竟取完了没有还说不定。

这回，我们来一对一地检查一下，先从P1和它的对儿1起。

因为P1是E的局部总集，所以包含的是一些整数，现在P1和1的关系就有两种：一种是P1里面有1，一种是P1里面没有1。

假如P1里面没有1，我们将它放在一边。

跟着来看P2和2这一对，假如P2里就有2，我们就把它留着。

照这样一直检查下去，把所有的Pn都检查完，凡是遇见整数n不在它的对儿当中的，都放在一边。

这些检查后另外放在一边的整数，我们又可做成一个整数的总集。

朋友！

这点你却要注意，一点儿马虎不得！