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01 基本原理 Fundamentals（第2页）

因为其中有64种牌面由一张A和一张“十牌”

（即10、J、Q或K[2]）组成，所以我们得出结论，抽到这样的组合——“二十一点（Blackjack）”

——的概率是641326，刚好不到5%。

仅从概率的角度而言，这些例子都可以转化为从装有完全相同的球的袋子中取出某个球的形式。

第一个例子对应的袋子中装有4个球，3个是红球；第二个例子对应的袋子中装有1326个球，其中64个是红球。

的确，每一个对概率的客观考量的例子本质上都与从袋子或者瓮中取出一个球的问题完全相同（这就解释了学生们教材中这类例子过多的原因）。

我要强调的是，仅仅计算可能结果的数量然后计算多少个结果会引发相应的事件是不够的。

一定要有令人信服的理由说明任何结果都不会比其他的更可能或更不可能发生。

否则，基于彩票只有两个可能的结果：要么中奖，要么不中，你会掉入买彩票中大奖概率是50%的思维陷阱中!

试验证据——频率

我们希望在“大富翁”

这类家庭游戏或者例如双色子赌博的赌场游戏中，色子的六个面中掷出每一个都是等可能的。

但如果色子由不均匀的材料制成，或者它的长度、宽度和高度三者不相同，那么假定每种结果是等可能的显然不明智。

在相同条件下进行的一系列投掷过程中，出现任何一个面的频率都会波动，但最终将会稳定并趋近于一个特定值。

不可能出现前1000次投掷中20%的结果是6点，而接下来的1000次投掷中这个比例跳到了60%。

在这些可重复试验中，结果可能是不完全一样的，但是每一个结果都倾向于表现出某个特定的频率，频率论者（frequentist）认为这个频率值就是相应结果的概率。

对于一个不完美的色子，在前1000次投掷中，我们可能会得到170次6点，下1000次中，可能得到181次6点，诸如此类。

我们不能从这些试验中推断出掷出6点的概率精确值，但是试验数据指导我们对概率进行估计，我们收集的试验数据越多，我们估计得就越准确。

我们无法知道概率的精确值，但这一事实并不能否认概率的存在。

如果我从洗好的牌堆中抽取一张牌，似乎没有理由认为某种花色比其他花色更容易被抽到。

每种花色都有14的客观概率。

而且如果我放回这张牌，重新洗牌，然后再进行100次试验，我会预期每种花色的出现是同样的频繁，就是大约25次。

类似地，对于投掷结果都是等可能的普通色子，投掷结果是5点的概率客观地讲是16。

在600次投掷中，我们预期掷出5点的次数大约为100次。

在重复大量具有等可能性结果的试验时，任何特定结果相应的频率都预期会接近于它客观计算的概率。

一个公正的硬币极少会在100次投掷中给出50次正面朝上的结果，但是直觉上我们不知道该期望投掷结果多么接近理想情况才合理。

频率观点不仅被应用于同样条件下的重复性试验，还有在即将出生的婴儿是男是女上。

不考虑家庭因素，我们来看看从许多国家和文化环境中收集的覆盖了很长时间跨度的数据。

一个持续的模式是：每49个女婴出生，就有51个男婴出生。

鉴于无法将某个新生儿和其余的进行区分，一个频率论者会认为生男孩的概率是51%。

一些规模惊人的试验已经开展了。

1894年，动物学家拉斐尔·韦尔登（RaphaelWeldon）发表了将12个色子投掷2600次的结果。

他的数据与六个面等可能出现的观点相抵触，因为5和6这两个数字出现得太频繁。

为了辨认数字，他的色子上每个面钻了小孔，刻有5和6的面分别对着刻有1和2的面。

这些色子的重心就会更接近数字较小的面，这给出了一个对观察结果中频率过大貌似正确的解释。