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03 历史概要 Historical Sketch（第3页）

图1　20次投掷中正面朝上的相对频率

这种曲线会生成于所有的多次掷硬币过程中，并且还可以包括掷出正面的概率不等于12的情况。

所有曲线之间有一个简单的关系，所以棣莫弗可以就一个基本的曲线制作一个简单的数表，并能在任何情况下使用。

整体的成功频率在一个确定的限制范围中，现在就能够简单地获取对这样的事件的发生比例的估计——需要的仅仅是获胜的概率和将要进行的试验的次数。

将一个公正的色子掷200次，你想知道数字6出现次数在30~40间的可能性有多大吗？或者一个公正的硬币在100次投掷中掷出60次以上的正面的可能性有多大？没问题——棣莫弗有解决方案。

假设我们知道一群人死亡时的年龄，所有人都活到了至少第50个生日。

棣莫弗的工作可以回答这样的问题：“如果一个50岁的人在70岁之前死亡是更有可能的，我们能够观察到这些数目的各种变化的可能性有多大？”

虽然这十分有用，但是它不能回答新兴的人寿保险业提出的关键问题：“我们有多么确信一个50岁的人在他70岁之前即死亡是更有可能的？”

逆概率

托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）是一个在数学领域有建树的长老会牧师，他的思想现在比在其生前更受重视。

他的《机遇问题的解法》（EssayTowardsSolvingaProblemirineofces）在他死亡三年后的1764年出版，给出了初步处理主观概率的一般方法和从数据中推断概率的保险精算师问题的一个解决方法。

这本书也包含了一个处理概率的重要工具，被称为贝叶斯法则（Bayes’Rule）。

为了举例说明这个法则，设想我们掷一个公正的色子两次。

已知第一次掷色子点数是3，很容易地就能够得到总点数是8的概率，因为这个事件会在第二次投掷点数为5时发生。

我们不假思索地就能给出解答为16。

但是将问题调转一个方向，设问：给出总点数是8，第一次掷出3的概率是多少？答案远远不那么简单了，但是我们可以应用贝叶斯法则来得到结果。

在掷色子的标准模型下这个概率为15。

对于刑事审判中处理证据的方法，逆概率（inverseprobability）这个概念至关重要。

假设在犯罪现场找到的指纹被鉴别为属于一个已知的人——史密斯。

如果史密斯是无罪的，发现这个证据的概率很可能是非常低的。

但是法院判决的依据不是“已知史密斯是无罪的，发现这个证据的可能性有多大”

而是“已知发现了这个证据，史密斯无罪的可能性有多大”

。

贝叶斯法则是获得答案唯一合理的方法。

我们将会在后面的章节中看到这个法则是如何帮助我们做出正确决定的。

贝叶斯展示的洞察力在很多年中被忽略了，但是他的确指出了中心问题：如果在一系列的伯努利试验（例如掷色子）中，成功的概率是未知的，但是试验和成功的次数都分别是已知的，这个不可知的概率落在指定区间内的可能性有多大？而另一位极其优秀的数学家拉普拉斯的计算优于贝叶斯。

从1774年试探性的开始到1812年的理论综合体，拉普拉斯逐渐地完善着他的分析，并最终给出了解答贝叶斯问题的一系列明晰的公式。

例如，利用巴黎男性和女性的出生人口数目，他得出结论，毫无疑问男性出生的概率高于女性——他估计这结论错误的概率是10-42。

贝叶斯被安葬在伦敦的邦丘原野公墓（CemeteryofBunhillFields），在皇家统计学会（theRoyalStatisticalSociety）附近。

其墓地曾经被修复过，来表达全世界统计学家对贝叶斯的敬意。

中心极限定理

将一些伯努利试验的结果写成由胜利（Success）和失败（Failure）组成的序列，例如FFFSFFFSSFSFF……现在将每个S用数字1代替，每个F用数字0代替，得到0001000110100……这表明了一个巧妙地理解这些试验中胜利的总数的方式：序列中的这些数字的和（同意吗？）。

棣莫弗利用他所谓的正态分布曲线，给出了一个描述这个和的分布的良好近似方法。

对于一个巨大的数值序列，我们要考虑的可能只是其中随机变化的各个值的和。

例如，负责垃圾处理的政府部门主要感兴趣的是整个城镇中的垃圾总量，而不是来自每个家庭的数量。

当一位园丁播种红花菜豆时，他关心的不是每个豆荚的大小，而是总产量。

一个赌场基于它的全部赢得的钱来评估其经济收益，不论个别赌徒的收益如何。

将着眼的事物看作大量随机数据的和，这经常是卓有成效的。