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04 概率试验 Chance Experiments（第4页）

我们接下来开始说明，在一个可重复试验中，如果猜对结果的概率是16，我们可以期望按顺序进行的6次试验中有1次猜对。

将事件发生的概率除以100万，我们预期等待正确结果出现的次数就被乘上了100万。

具有极小概率的结果的确会发生，但是越来越罕见。

如果概率下降到0，我们可以预期要等待比任意有限长都要长的时间——那它就是不会发生!在提前指定的情况下，认为任何概率为0的事件都不会发生是合理的。

平均值

已知一个概率试验中结果的分布，我们就可以计算我们想要的任何概率。

但是有些时候，所有的这些细节都成了障碍——只见树木，不见森林[1]：所以我们想要提取出分布的主要特征。

举例说明，假设可能出现的结果只有2、3和7，分别对应概率60%、10%、30%。

我们预期在100次重复试验中，2这个值会出现大约60次，3出现大约10次，7为剩下的30次。

所有这些数值的和是120+30+210=360，所以所有这100个结果的平均值是360100=3.6。

这个值就是数值2、3和7的加权和（weightedsum），权重就是它们的概率。

无论我们有什么样的分布，相似的计算都会得出大量重复试验结果的集中趋势。

“集中趋势”

是一个宽泛的词，对于这类计算的结果，我们更喜欢使用平均值（mean）这个术语。

可能有一些捷径：如果值在一个范围内均匀地分布，平均值就在两个端点的正中间；在一系列伯努利试验中事件发生的次数的平均值就是试验次数和事件发生概率相乘。

掷一个公正的色子，得到4的概率是16。

所以在600次投掷过程中，我们应该可以得到大约100个4：简单计算表明，连续出现的4之间的平均间隔是6。

大小为16的概率导致平均间隔是6，这不是一个巧合。

任何间隔的长度就是下一个事件发生的等待长度，所以在一系列伯努利试验中，我们就有了令人愉快的结果：

等待一个事件发生所需的平均时间是事件发生的概率的倒数。

在连续分布中，想法是类似的，但是加权和是由一种名为积分（iion）的数学方法来得出的。

对于高斯分布，峰处就是平均值。

按照整体特定的频率发生的随机事件发生的平均时间是一个指数分布：平均时间就是频率的倒数，这并不奇怪。

除了“平均”

和“平均值”

，术语“期望”

和“期望值”

也会被使用。

掷一个公正的硬币12次，“期望”

正面朝上的数目为6；掷一个公正的普通色子，“期望”

得到的分数是3.5。

当然正是因为一次投掷中反面朝上的期待值是0.5，我们实际上不能期望得到一半的反面朝上!文字都很是奇妙。

平均值非常友好：和的平均值通常是平均值的和，无论不同的和是不是独立出现的。

大数定律告诉我们，从长远看，平均值占据主导：如果你买一张彩票花费1英镑，其中一半的钱都进入奖池中，那么，无论奖金的分配结构如何，你的平均收益都是50便士，从（非常）长远看，这就是你能得到的。

离散程度