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04 概率试验 Chance Experiments（第3页）

在所有这些试验中，因为单独一个点具有的概率值为0，我们可以稍微草率一点：无论一个区间包括了两个端点或一个端点，抑或都不包括，结果的概率都是一样的。

为了限定一个概率密度，一条曲线一定必须具有两个特性：不能取负值，在曲线下的全部面积必须是单位1。

这些保证了对概率的所有计算能得出合理的结果。

许多概率密度函数出现得足够频繁以至于可以被赋予名称。

对于从给定的一个区间内选取随机点，密度函数在这个区间内完全平直，就像图5中的一样：简单地说，所有相同长度的片段具有相同的概率。

再一次，我们叫它均匀分布。

假设我们对一些特定事件在多长时间后发生感兴趣。

例如，210Pb是一种铅的不稳定同位素，“它的半衰期是22年”

这个断言被印在物理教材上。

它的意思是，如果我们有一块这种物质，22年后只有原来的一半保持原样，其余的都通过辐射衰变成其他物质了。

这块物质由巨量的原子组成，所有这些原子的行为都是独立的。

如果关注单个原子，它通过放出一个粒子而衰变。

我们不知道什么时候这个过程会发生，但是因为在22年内这块物质中的一半的原子都衰变了，所以这个特定的原子在这个时间段内发生衰变的概率是50%。

假设它在5年后还没有发生衰变：这时，它就是剩余的210Pb块中的一个原子，所以它在未来22年衰变的概率也是50%，并且如果它在接下来的3年中没有发生衰变，情况也一样，以此类推。

一个给定的原子的衰变时间只有遵循所谓的指数分布（expoialdistribution）的时候，上述情况才能发生，它的概率密度的一般图形展示在图6中，曲线的高度按照确定的比率下降。

类似的场景也应用在交通事故中：过去的一周内没有事故发生，那似乎不可能对未来的事故概率产生影响，所以我们预期交通事故下一次发生的时间也遵循指数分布。

这个分布和泊松分布密切相关。

只要事件本质上是随机发生的——暴风雨中的闪电、细胞复制中的自发突变、顾客来到邮局——在固定的时间段内这样的事件发生的数目倾向于遵循泊松分布，那么一对事件之间的等待时间的概率分布就具有这种指数形式。

最重要的连续分布是我们已经提到过的高斯分布。

就像图7展示的那样，这个分布家族中的成员关于单独的一个峰对称，并且在两边快速下降，然而永远不会达到0。

两个数字就可以告诉我们任意一个分布实例在这个家族中的归属：一个数字表示峰的位置，另一个数字描述散布程度——较小的散布值导致像图7a那样的高且窄的图形，较大的散布值给出像图7c那样的矮且宽的图形。

这个家族成员的任何位置的概率都可以借由这两个数字来与图7b的分布相关联而得到，这个分布的峰在0，标准散布值为单位1。

棣莫弗创制了对应数表之后，这些对应关系就很容易得到了。

图7　高斯分布

一个问题的再解决

你也许已经注意到了一个问题。

已知期望的结果组成的集合是有限的，或者是一个像{1，2，3，…}这样的无尽的集合，那么即使这个集合中的一些成员的概率是0，任何概率是0的事件也不会发生。

然而，对于连续分布，即使每个单独的点的概率是0，它们其中的一个在试验进行过程中也是会发生的!我们不再能够认为“不会发生”

与“概率为0”

具有相同的意义。

为了解决这个问题，我们来考虑从装有100万块完全相同的大理石的盒子中随机选取一块。

只有在提前猜对了结果的情况下，我们才会感到惊讶，因为猜对的概率只有一百万分之一。

但是，无论抽中了哪块大理石，虽然的确出现了某个概率只有百万分之一的结果，但我们也不会感到惊讶。

把盒子做大一点——10亿块或100000亿块大理石——实际产生结果对应的概率可以无限接近0——但是它的确发生了。

这与在一条连续的线上选取一个点的过程并没太大区别：对于任意的点来说，它的概率是0，但是它们其中的一个的确将会发生。