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01 如何不去考虑数 How Not to Think About Numbers（第3页）

有或没有小数的生活

为一个数字系统选底数有点像为一张地图选比例尺，这并非基于对象内在的性质，而是类似于赋予它一个坐标系，作为控制用的工具。

我们对底数的选择本质上是任意的，面对自然数集1，2，3，4，…的时候，排他性地使用底数十让我们戴上了有色眼镜。

只有掀起这层面纱，我们才能面对面地看清数到底是什么。

当我们说起一个数，例如四十九，所有人的脑海中都浮现出两个字符4和9。

某种程度上，这对我们谈论的那个数来说不太公平，因为我们毫不犹豫地将49转换成了（4×10）+9。

我们也可以同样轻松地用另一种方式来诠释这个数：49=（4×12）+1。

实际上，在十二进制中，四十九正是被写作41，这里数字4代表4份十二。

当然，49这个数最显著的特征是它是7×7的积。

这一特点在七进制中十分明显，此时四十九这个数会被表示为100，这里的1代表一份7×7。

我们一样有权利为我们的数字系统选择另一个底数，例如12。

玛雅人使用了12，而巴比伦人用了60。

某种程度上，60是一个计数基底的好选择，因为60有很多因数，它是可以被1到6之间所有数整除的最小的数。

不过，选择一个60这样相对大的数作为底数也有缺点，就是需要引入60个不同的符号来表示从零到五十九的所有数。

如果一个数是另一个数的整数倍，则称第二个数是第一个的因数[4]（factor）。

比如，6是42=6×7的一个因数；但8不是28的一个因数，这是因为28含有三个8还余4。

数字系统的底数拥有众多因数会是一个很方便的性质。

这就是为什么相对于我们的数字系统来说，底数选择十二也许比十更好，因为12的因数是1，2，3，4，6和12，而10只能被1，2，5和10整除。

数字系统的有效性，加上我们对它高度熟悉，给了我们一种虚假的信心，同时也带来了一定的局限。

我们会更愿意使用单个的数，而非一个算术表达式。

例如，大多数人情愿谈论5969，而不是47×127，即使这两种表示方式代表了同一个东西。

仅在“求出最终答案”

5969之后，我们才觉得我们“有”

了这个数，从而可以正视它。

然而，这里面却包含着一丝虚妄的成分，因为我们只是将这个数写成了多个十的几次幂的和。

若是将这个数分解为一系列因数的乘积，从这个等价形式中，我们反而可以更好地推断它一般意义上的构造和其他的性质。

确切地说，5969这个标准形式能让我们将它和其他以同样方法表示的数直接比较大小，但并不能展现出这个数的全部特性。

分解为因数的形式可能有用得多。

在第4章中，你会发现其中的一个原因，即一个数的十进制表示可能掩盖了关键的因数。

古人比我们多拥有的一项优势是，他们并未被十进制的思路所束缚。

谈到数的规律时，他们会自然地想到一个数可能拥有或缺乏某些特殊的几何性质。

比如，10和15这样的数是三角的（triangular）。

这可以通过图像展现在我们面前，正如十瓶制保龄球中排成三角形的球瓶，以及斯诺克台球中15个红球摆成的三角。

但如果只用十进制展示这些数，这样的画面就不会出现在我们眼前。

我们要放下十进制的思维定势，告诉自己可以从很多不同角度来思考数，才能重新获得古代人天然就拥有的自由。

这样，把我们自己解放出来之后，我们可能会选择重点关注一个数的因数分解（factorization）——把数写成一些更小的数的积。

因数分解揭示了一个数内部构造的相关信息。