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02 永无穷尽的素数 The Unending Sequence of Primes（第3页）

他是一切作为定语使用的词“欧几里得”

（Eu）本人。

从给定一个集合p1，p2，…，pk（其中每个pi表示一个不同的素数），他也没能找到生成一个新的素数的途径，于是他退回一步，找到了一个更加微妙的论证方法。

他证明了在某个给定的数的范围内，总是存在一个或更多的新素数（但他的论据并不足以让我们在那个范围内精确地定位素数）。

他的证明如下：设p1，p2，…，pk为前k个素数。

考虑比所有这些素数的积还大1的数n，即n=p1p2…pk+1。

n要么是一个素数，要么可以被一个小于它自身的素数整除。

如果是后一种情况，这个素因数不可能是p1，p2，…，pk中的任意一个。

因为假设p是p1，p2，…，pk中任意一个数，将n除以p会有余数1。

于是可推知n的任何素因数都会是一个新的素数，并且比p1，p2，…，pk里面所有的素数都大，但不超过n自己。

特别是，由此可知不存在任何包含所有素数的有限的列表，因而素数数列会不断延续下去，永不终结。

欧几里得关于素数无穷性的证明是永恒不朽的，是数学中最受敬仰的证明之一。

虽然欧几里得的推理没有确切地说明在哪里能找到下一个素数，但现在我们对素数出现的频率已经取得了深入的理解。

例如，如果我们任意取两个没有公因数的数，比如a和b，并考虑数列a，a+b，a+2b，a+3b，…，德国数学家约翰·狄利克雷（Johan）证明这样一个数列包含无穷多个素数。

（当然，如果a和b有公因数——比方说d，这就没有希望成立了。

因为如此一来，列表里每一个成员都是d的倍数，因而不是素数。

）当a=1，b=2时，我们得到奇数组成的数列。

由欧几里得的证明，我们知道它包含无穷多素数。

实际上，通过对欧几里得的方法进行一些十分简单的改进，还可以证明其他一些特殊情况，比方说以下形式的数列：3+4n，5+6n，5+8n（n依次取1，2，3，…这些值），它们各自都含有无穷多素数。

但是，要证明狄利克雷的一般结论就非常难了。

另一个可以简单陈述的结果是，对于任意给定的数n（n≥2），至少存在一个素数大于n但小于2n。

这在历史上被称为伯特兰猜想[2]（Bertrand’sPostulate），它可以用非常基本的数学知识来证明，虽然这个证明本身有些取巧。

我们可以使用下面列出的素数，对取值不大于4000的n验证这个论断。

首先观察到这个列表中，位于打头的素数2之后的每个数都小于前一个数的2倍：

2，3，5，7，13，23，43，83，163，317，631，1259，2503，4001.

对于每个不大于4000的n，取上表中不超过n的最大素数p，它的后面一个素数q即位于n＜q＜2n的范围中。

这就保证了伯特兰-切比雪夫定理对于不大于4000的所有n都是成立的。

例如，当n=100，p=83，那么q=163＜2×100。

再使用一条巧妙的论证，这个论证涉及所谓的中央二项式系数（tralbi，将在第5章中介绍），还可以证明这个定理对大于4000的n也是正确的。

然而，我们不用走太远，就又会发现似曾相识却尚未解决的问题。

举例来说，没有人知道是不是在两个连续的平方数中间总存在着一个素数。

另一个观察是似乎存在足够的素数，从而可以保证每个大于2的偶数n总可以写成两个素数之和（哥德巴赫猜想，Goldbaje小于1018的情况，这个结论已经被直接验证。