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02 永无穷尽的素数 The Unending Sequence of Primes（第4页）

自然，我们可能会寄希望于沿着伯特兰-切比雪夫定理的思路找到一个证明。

在大于某个给定的整数N时，基于对素数分布的已有知识，我们试图证明：对于任何偶数2n≥N，至少存在一对素数p，q，构成方程p+q=2n的解。

这个途径迄今还没能成功，不过这些思路产生了一些弱一点的结果。

比如，1939年之后我们知道了：每个足够大的奇数是至多三个素数的和；每个偶数是不超过300000个素数的和。

但要想完整地证明哥德巴赫猜想，似乎还有很长的路要走。

还有一个简单的结果，颇有一些上面介绍的这类论断的味道。

它说的是：存在一个小于40亿的数n，有十种不同的方法，可以将它写成四个不同的立方数之和。

已知1729=13+123=93+103是最小的能用两种方法写成两个立方数之和的数。

不过，要想知道一个数n存在，我们并不一定非要确定它的大小。

有时候可以明确地知道一个问题有解，而不是精准地找到一个解。

在这个例子中，我们先指出如果取四个不同的数，它们都不大于一个固定的数m，那么求它们的立方和，结果将小于4m3。

同时，倘若m=1000，那么通过简单的计算就可以发现，选四个不同的数求其立方和，所有可能的情况已经超过了4m3×10种。

由此可推出存在某个数n≤4m3=4000000000一定可以写成四个立方数的和，且至少有十种不同的写法。

具体的计算涉及二项式系数（将在第5章中介绍），但并不困难。

数论中最著名的悬而未决的问题是黎曼猜想[3]（RiemannHypothesis），要阐述它必须用到复数（ber）——我们还没有介绍到。

在这里提到它，是因为可以通过素因数分解的唯一性，重新表述这个问题的对象，使得新的提法中出现了一个包含所有素数的无穷乘积。

借助这个表述我们发现，这个猜想表明，素数整体上的分布符合一条规律，那就是在大范围内，素性的出现是随机的。

当然，某个数是否为素数不是一个随机事件。

猜想里说的是，就很大的范围而言，素性是随机显现的，没有任何其他的规律或者结构可循。

很多数论学家衷心希望，在其有生之年，这条有150年历史的猜想能有个定论。

素数是一个极其自然的数列，以至于我们会几乎无法抗拒地去搜寻它们的规律。

然而，却不存在有关素数的真正有用的公式。

也就是说，没有已知的规则能够生成所有的素数，甚至无法计算出一个完全由不同的素数组成的数列。

存在一些形式简洁的公式，但几乎没有实用价值，要计算其中一些的值甚至需要素数相关的知识，因此本质上它们算是作弊。

形如n2+n+41的表达式称作多项式（polynomials），这一个多项式能够产生极其大量的素数。

例如，让n依次取值1，7和20，会分别得出素数43，107和461。

确实，从n=0到n=39的所有输入值，这一表达式的输出都是素数。

但当取n=41时，这个多项式就令我们大失所望了，因为结果会有因数41。

并且，对于n=40也失败了，因为

402+40+41=40（40+1）+41

=40×41+41=（40+1）41=412.

可以轻而易举地证明，一般而言没有某个多项式能给出一个素数的公式，即便允许表达式中存在高于2的幂次也不行。

的确有可能设计出仅用一两句话描述的素性检验的方法。