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02 永无穷尽的素数 The Unending Sequence of Primes（第5页）

但是，想要它们有用，还需要再快捷一点，至少在某些情况下得快于第1章中描述的直接验证方法。

一个有名的结论叫作威尔逊定理（Wilson’sTheorem）。

它的表述使用到了一类叫作阶乘（factorial）的数，我们将在第5章里再次与它相见。

数n!，读作“n的阶乘”

，就是所有不大于n的正整数的乘积。

比如，5!=5×4×3×2×1=120。

威尔逊定理便是一条极其简洁的陈述：当且仅当p是1+（p-1）!的一个因数时，数p为素数。

这个结果的证明不是很困难，实际上，其中的一个证明方向是很明显的：如果p是合数，比如p=ab，那么由于a和b都比p小，它们都会是（p-1）!的因数。

因而p也是这个阶乘的一个因数。

由此推出当我们用1+（p-1）!除以p时，会得到余数1。

（a=b的情况需要多考虑一点点。

）这很容易让人想起欧几里得对素数无穷性的证明。

于是可知如果p是1+（p-1）!的一个因数，那么p必为素数。

反过来的结论证明起来会难一点：如果p是素数，那么p是1+（p-1）!的一个因数。

但这才是定理真正令人惊讶的方向，不过读者朋友可以轻松地验证一些特殊情况，比如，素数5确实是1+4!=1+24=25的一个因数。

最后，基于定义，阶乘含有很多因数。

我们可以利用这一点证明，不存在仅含素数的算术数列[4]（arithmetice），或者说仅含素数且形如a，a+b，a+2b，a+3b，…的数列。

因为可以证明相邻素数的间距可以任意地大，而前述数列相邻元素之差始终固定为b。

想要理解这一点，考虑由n个连续整数构成的数列：

（n+1）!+2，（n+1）!+3，（n+1）!+4，…，（n+1）!+n+1.

这些数每个都是合数，因为第一个可以被2整除（两项都含有因数2），第二个可以被3整除，下一个可以被4整除，以此类推，直到最后一个——含有因数n+1。

因而对于任意给定的n，我们都有一串由n个连续整数组成的数列，其中的每一个数都不是素数。

在下一章中，我们将不再聚焦于具有最少因数的数（素数），而是转向拥有很多因数的数。

不过我们会发现，它们和一些非常特殊的素数之间存在着令人惊讶的联系。

[1]　在中国一般称之为辗转相除法。

[2]　该猜想由伯特兰提出，后由切比雷夫证明。

约瑟夫·伯特兰（JosephBertrand），法国数学家。

巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（PafnutyLvovichChebyshev），俄罗斯数学家。

[3]　格奥尔格·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼（GeFriedrihardRiemann），德国数学家。

[4]　即等差数列。