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03 完美的和不那么完美的数 Perfect and Not So Perfect Numbers（第2页）

由于这适用于任意素数p，我们可以推断不存在最大的素数，于是素数数列可以永远延续下去。

不那么完美的数

传统上人们对数的认识往往集中在单个数上，这些数被认为有特殊的甚至是奇妙的性质，就比如说完美数。

不过，220和284是一对拥有类似特征的数。

它们是第一对相亲数[3]（amicablepair），意思是每个数的真因数之和等于另一个——这是推广到数对的一种完美性。

法国著名的业余数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat）找到了其他的相亲数，如17296和18416，而欧拉更是发现了好几十对。

出人意料的是，他们都漏掉了一对小数，1184和1210，这是由16岁的尼可罗·帕格尼尼（Niini）在1866年发现的。

当然，我们还可以走得比数对更远一些，去寻找完美的三元数组、四元数组等。

更长的循环比较罕见，但仍会出现。

我们可以从任何数出发，找到它真因数之和，接着继续重复这一过程，从而得到所谓的真因数和数列（aliquotsequence）。

结果通常是令人失望的，因为我们一般会得到一条迅速抵达1的链，然后这个过程就终止了。

举例说，即便是从一个看起来很有希望的数开始，比如12，链条还是很短：

12→（1+2+3+4+6）=16→（1+2+4+8）=15

→（1+3+5）=9→（1+3）=4→（1+2）=3→1.

困难在于，一旦你碰上一个素数，就结束了。

完美数当然是例外，它们都会给我们一个循环，而相亲数则给我们一个双循环：220→284→220→…。

能产生超过两个元素的循环的数叫作多亲的（sociable），相关研究直到20世纪才开始，因为那之前它们从没有被人发现过。

甚至今天，还没有生成三元环的多亲数被找到，虽然现在已经知道了120个四元环数链。

最早的一些例子是由P·普莱（P.Poulet）在1918年找到的。

第一个是一个五元环数链：

12496→14288→15472

→14536→14264→12496.

普莱的第二个例子令人惊叹，时至今日还没发现其他能与之比肩的数链：从14316开始，我们得到一个长度为28的循环。

所有其他已知的循环长度均小于10。

到今天，关于相亲数和多亲数，还没有像欧几里得和欧拉关于完美数那样漂亮的定理。

不过，由于现代强大的计算能力，这类问题经历了一次由数值实验推动的复兴，人们也得出了一些新的结论。

根据一个数的真因数之和是小于、等于，还是大于这个数本身，我们可以将所有数划分为三类：亏的（defit）、完美的（perfect）和盈的（abundant）。

比如，就像我们已经看到的，12是一个盈数，18和24也是，因为它们的真因数之和分别为21和36。

在整数中进行初步的搜索，你可能由此猜测盈数也就是6的倍数而已。

当然，任何大于6的形如6n的数都是盈的，因为6n的因数一定包含1，2，3以及n，2n，3n，这些加起来大于原来的数6n。

但是，这一观察也可以被推广到不仅限于6的倍数，因为我们可以将同样的推理应用于任何完美数k。

nk的因数将含有1，以及完美数k的所有因数乘上n所得出的数，于是nk的所有真因数加起来至少会得1+nk。

所以，任何完美数的倍数都是盈的。

例如，28是完美的，因而2×28=56，3×28=84等都是盈的。

因此我们看到，完美数的倍数是盈数，同样的道理，盈数的倍数也一样。

发现了这一点之后，你或许仍然会猜测，所有的盈数只是完美数的倍数。

然而，你不用看太远，就会找到这个猜想的第一个例外，70是盈的，但它的因数没有一个是完美的。