五二小说网

手机浏览器扫描二维码访问

03 完美的和不那么完美的数 Perfect and Not So Perfect Numbers（第3页）

70是第一个所谓的奇异数（weirdnumber），不过不是因为上述原因（这个名字的源头下面会解释）。

有了这些发现，你可能还会认为，因为似乎不存在奇完美数，所以很可能也不存在奇盈数。

换句话说，进一步的猜想可能变成了所有奇数都是亏的。

倘若计算前几百个奇数的真因数和，似乎可以确证这一理论，但是这个说法最终还是被发现是错的。

检验一下945，它的真因数和为975。

现在，洪水的闸门被打开了，因为一个盈数的任意倍数都是盈的，所以945的奇数倍立刻给我们提供了无穷多奇盈数。

比起不假思索地逐个检验奇数，要是我们再精明一点的话，可能会更快地发现这个反例。

要想一个数有很大的真因数和，它需要很多因数，其中还要包含大因数，这些大因数又是由小因数配对在一起产生的。

于是我们可以通过将小素数乘起来构造具有大真因数和的数。

如果我们只关心奇数，那么我们应该看由前几个素数——3，5，7等——构成的乘积。

这个粗略的准则会很快使你检验到33×5×7=945，于是你也就在奇数中找到了盈性。

有时我们会发现，具有某些性质的数里，最小的也有很大的值，这种情况并不少见。

尤其是当想找的数需要有某种因数结构，这种结构是由你想要的性质决定的。

于是那个最小的数可能极其大，不过如果我们在求解过程中利用给定的性质的话，它并不一定很难找到。

这种数谜的一个例子是找到一个数，它既是一个立方数的5倍，又是一个五次方数的3倍。

答案是

7119140625=5×11253=3×755.

不过，并不难看出，为什么最小的答案都有数十亿这么大的值。

任何解n都得是3r5sm这样的形式，r和s是正幂次，剩下的素因数被归总在整数m里，m不能被3或5整除。

如果我们首先关注r的可能取值，可以观察到，由于n是一个立方数的5倍，指数（expo）r一定是3的倍数。

同时由于n是一个五次方的3倍，数r-1必为5的倍数。

同时满足这两个条件的最小r是r=6。

同样的，指数s一定是5的倍数，而s-1必须是3的倍数，最小的可行的s是s=10。

为了让n越小越好，我们取m=1，因此n=36×510=3（3×52）5=3×755，于是n确实是一个五次方的3倍。

同时n=5（32×53）3=5×11253，所以n也是一个立方数的5倍。

一个更极端的例子是著名的牛群问题（），它是由古代最伟大的数学家阿基米德（Archimedes）提出的。

但直到19世纪这个问题才被解决。

要满足最初的44行诗中提出的所有限制条件，最小的牛群数量是一个超过200000位的数!

上面这些讨论给了我们一条警示，那就是只有我们进入非常大的数的领域，数才会展示出它们全部的多样性。

出于这个原因，仅仅是不存在少于300位的奇完美数这个事实，并不能说明它们“很可能”

不存在。

当然，假如真有一个出现了，这个领域内第一流的专家们也会大吃一惊。

让我们再次回到真因数和数列的一般行为这个话题上。

我们还可以提出一些简单的问题，却仍然没有人回答得了。

真因数和数列可能的情形有哪些？如果这个数列遇上一个素数，那么在这之后它将立即终止于1，其实它也不会以任何其他方式终止。

如果这没有终止，这个数列可能是循环的，从而代表了一组多亲数。

但是，还有另外一种与之相关的可能性，我们可以通过计算95的真因数和来揭示：

95=5×19→（1+5+19）=25