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03 完美的和不那么完美的数 Perfect and Not So Perfect Numbers（第4页）

=5×5→（1+5）=6→6→6→….

在这个例子里，虽然95本身不是一个多亲数，但它的真因数和数列最终碰到一个多亲数（更准确地说是完美数6），接着进入了一个循环。

可以设想，还存在一种可能性：一个数的真因数和数列永不遇见一个素数或多亲数。

此时，这个数列必然是一个由不同数组成的无穷数列，其中没有一个是素的或多亲的。

这可能吗？令人吃惊的是，没人知道。

更惊人的是，存在一些小的数，它们的真因数和数列竟然还是未知的（因此它们可能拥有此类无穷真因数和数列）。

这些谜一样的数中的第一个是276，它的真因数和数列由以下的数开始：

276→396→696→1104→1872→3770

→3790→3050→2716→2772→….

但是没有人确切地知道它最后会变成什么样。

这与前面列出的276的真因数和数列的第二项相等。

对于与真因数和函数具有某种关系的数n，只需要通过给它们起个名字，我们便可以引入无穷多类的数。

就像之前提到的，当a（n）=n时n是完美的，当a（n）＞n时n是盈的。

一个半完美数（semiperfeumber）n是等于自己部分真因数（小于n）之和的数，因而由定义可以推出，所有半完美数不是完美的就是盈的。

比如，18是半完美的，因为18=3+6+9。

当一个数是盈数但不是半完美的，它被称作奇异的（weird），最小的奇异数是70。

你可能会认为，这个话题变得过于琐碎了——将名称冠予任意定义的数的类型，这举动确实不能让数字变得有意思，我们应该懂得在什么地方收手。

话虽如此，要注意处理这些新问题背后的策略，还是欧几里得和欧拉展示给我们的关于完美数的那一套。

回忆一下，欧几里得证明的是如果一个梅森数是素数，那么另一个数就是偶的且是完美的。

欧拉则证明了反过程，所有偶完美数都是由这一途径产生的。

在公元9世纪，波斯数学家塔比特·伊本·库拉（ThabitibnQurra）对于任意数n引入了一个三元数组，如果数组里的数都是素数，就可以构造一对相亲数。

塔比特的构造方法在18世纪被欧拉进一步推广，但即便这个加强版公式似乎也只能产生一部分相亲数对，还有很多相亲数不能由这个构造产生。

（现在已知差不多1200万对相亲数。

）到了现代，克拉维茨（Kravitz）给出了奇异数的一种基于素数的构造方法。

这个公式成功找到了一个很大的有五十多位的奇异数。

本章和前一章是为了通过各种各样的实例，让读者朋友熟悉自然数的因数和因数分解。

自然数也叫作正整数（positiveintegers）。

这将帮助你为下一章做好准备，你将了解那些思想如何被应用于当代密码学（cryptography）——关于秘密的科学。

[1]　又称完全数或完备数。

[2]　2018年12月21日，已知的最大素数已更新为282589933-1。

有兴趣的读者可以参阅GIMPS项目官方网站https:.mersenne.。

[3]　又称亲和数、友爱数、友好数。

[4]　素数幂即单一素数的正整数次方。