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07 向无穷和更远出发 To Infinity and Beyond（第2页）

他深晓伽利略关于无限集合的教导，于是告诉巴士司机：完全没问题，在希尔伯特旅馆，任何人都能有房间。

他把惊慌失措的前台接待员叫到一边，又给他上了一课。

“我们只需要这样做。”

他说，“我们让1号房的住客换进2号房，2号房的换到4号房，3号房的去6号房，以此类推。

总体而言，n号房的客人应该搬到2n号房。

这样所有奇数号的房就空了出来，无限星际快车的旅客都能入住。

完全没有问题!”

似乎一切都在经理的掌控之中。

但是，假设一艘飞船有某种技术，使得实数轴的连续统[1]（）上的每一点都对应于一位乘客，如果这艘船出现了，那么即便是经理也无能为力。

每个小数一个人的话，希尔伯特旅馆就会彻底挤爆。

在下一小节我们就会知道原因。

康托尔的比较法

当你第一次思考这些问题的时候，它们可能会让你大吃一惊。

不过，有一点并不难接受，无限集合的性质在某些方面或许与有限集合不太一样，其中一例便是它们与自身的某些子集有同样的大小。

在19世纪，格奥尔格·康托尔（Getor）比我们走得远得多。

他发现并非所有无限集合都拥有同样多的元素，这个发现出人意料，不过你一旦注意到它，就不难体会其中的含义。

康托尔要我们考虑以下这个问题。

假设我们有一张无限长的数表L，里面有数a1，a2，…，可以把它们看作以小数形式给出的。

那么可以写下一个在L中从未出现过的数a。

我们只需要让a的小数点后第一位与a1的小数点后第一位不同，小数点后第二位与a2的小数点第二位不同，小数点后第三位与a3的小数点第三位不同，以此类推。

这样，我们就构造出了数a，它与列表中任意一个数都不同。

这个结论表面上看起来人畜无害，但它导致了一个直接后果，那便是数表L绝对不可能包含所有的数，因为L中缺失了数a。

由此可知全体实数的集合，即所有的小数展开式，不能被写在一个列表里。

换句话说，实数集与自然数不能像图8里那样建立起一一对应的关系。

这条推理链被称为康托尔对角线论证法（tument），为了构造集合L外面的数a，我们想象了L的小数列表形式（如图9），并用这个阵列的对角线定义了a。

这里有一些微妙之处。

我们或许能把缺失的那个数放在L的开头，这样就能轻易绕过这个困难。

这创造出一个更大的列表M，它包含引起麻烦的数a。

但是，背后的问题并没有消失。

我们可以再一次运用康托尔的构造方法，引入一个崭新的数b，而它不存在于这个新列表M当中。

我们当然可以像之前一样，无限次地继续加长现有的列表，然而康托尔的结论依然成立：纵使我们能够不断造出含有之前忽略掉的数的列表，但是永远不可能有那么一张表包含每一个实数。

因此，全体实数的集合在某种意义上比所有正整数的集合大。

虽说两者都是无穷的，但是不像偶数可以与自然数列表匹配那样，它们没法配对在一起。

的确，假定有一张表包含了区间0～1内所有的数，我们将康托尔的对角线法应用在这个列表上，那么缺失的数a也将位于这个范围内。