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07 向无穷和更远出发 To Infinity and Beyond（第3页）

因此，类比于之前，我们同样可以总结出，任何想列出这个区间的全部元素的尝试都会是徒劳的。

我们提起这个事实，是因为很快就要用到它。

我们随意地接受任何可能的小数展开的时候，就打开了通往超越数的大门。

那些数超出了能从欧氏几何和普通代数方程产生的数的范围。

康托尔的证明告诉我们，超越数是存在的，并且有无穷多个。

因为假如它们仅仅组成一个有限的集合，那么它们就可以被放在我们的代数数（非超越数）的表单的开头，这样就产生了一张全体实数的列表，而我们已知这是不可能的。

令人惊异的是，我们发现了这些奇怪的数是存在的，却还没有指认出其中的任何一个!仅通过互相比较某些无限集合，我们就揭示了这些数的存在。

在我们熟悉的代数数和所有小数展开的集合中间，有着巨大的空隙，而超越数正是填充这些空间的数。

用一个天文学的比喻来说，超越数就是数的世界中的暗物质。

从有理数到实数，用数学家们的话来说，我们是从一个集合转到了另一个势[2]（ality）更大的集合。

如果两个集合的元素可以一对一地匹配起来，那么它们就等势。

用康托尔的方法可以证明，任何集合的势都小于由它的所有子集组成的集合的势。

这对于有限集合来说是显然的：的确，在第5章，我们已经解释了如果一个集合有n个元素，那么可以构造出2n个子集。

但是，自然数这个无限集合{1，2，3，…}的所有子集组成的集合S到底有多大呢？这个问题不光本身很有趣，我们得到答案的方式也耐人寻味。

结论是S确实是不可数的。

罗素悖论

假设反过来，S是可数的，在这种情况下自然数的子集可以按某种顺序列举出来：A1，A2，…。

现在，任意一个数n可能是An的元素，也可能不是。

让我们考虑由所有不属于集合An的数n所组成的集合A。

现在，A是自然数的一个子集（有可能是空集），于是它应该也在某个时候出现在了之前说的列表里，比方说A=Aj。

现在出现了一个无法回答的问题：j是Aj的元素吗？如果答案是“是”

，那么由A定义方式，我们可以推出j不是A的元素。

但是A=Aj，这自相矛盾。

另一种可能的答案是“不是”

，j并非Aj的元素，在这种情况下，再一次，通过定义我们推断j是A=Aj的一个元素。

于是我们又遇到了矛盾。

因为矛盾不可避免，我们的原始假设——自然数的子集能被可数地列举，必为假。

的确，这个方法成功证明了任何可数无限集合的子集所组成的集合是不可数的。

这种自指式风格的证明是由伯特兰·罗素（BertrandRussell）引入的，当时的背景稍有不同，他是为了导出罗素悖论（Russell’sParadox）。

罗素将这个方法应用于“所有不属于自己的集合组成的集合”

，他问出了以下令人尴尬的问题：这个集合是否是自身的一个元素？再次，“是”

会推出“否”

，而“否”

会得出“是”