五二小说网

手机浏览器扫描二维码访问

07 向无穷和更远出发 To Infinity and Beyond（第5页）

另一方面，康托尔集的任何数a也并不会感到太孤独，因为当a观察数轴上任何包含它自己的区间J，不论多么小，a总能在身边的邻居中找到同在C里的元素（也有不在C中的数）。

我们可以让给定区间J里的一个数b同时属于C，只需规定b的三进制展开式拥有与a足够多相同的位数，但又不包含1。

实际上，J包含有不可数个C的成员。

总结一下，康托尔三分点集C拥有可能有的最大数量的元素，当C的成员左右看去的时候，它们的兄弟姐妹在周围到处可见。

然而，对于不属于C的数，C就像不存在一样。

在它们的邻域内，看不到一个C中元素的身影，而集合C本身的测度也为0。

对它们来说，C几乎什么也不是。

丢番图方程

不过，当我们往反方向走时，产生了一条富有趣味的研究路线。

我们要求不仅方程的系数是整数，并且解也得是整数。

这里举一个经典的例子。

一个装着蜘蛛和甲虫的盒子里有46条腿，问两种生物各有多少只？这个小小的谜题可以用试错法轻松解决，但是仔细观察下面两点，我们可以学到些东西。

第一，它可以被一个方程来表示6b+8s=46。

第二，我们只对这个方程的某些种类的解感兴趣，即甲虫（b）和蜘蛛（s）的数量都是整数的解。

一般来说，当我们只限定于搜寻特殊类型的解时，相应的方程组就被称作丢番图方程（Diophaion）。

通常情况下我们要找的是整数或是有理数解。

要求解本例中这样的线性丢番图方程，有一个简单的方法。

首先，将方程除以系数的最大公因数。

在这个例子中，系数是6和8，因此它们的最大公因数是2。

消去这个公因数2之后，我们得到一个等价的方程——也就是说一个有同样解的方程：3b+4s=23。

如果做完这次除法之后，右侧不再是整数，那就表明该方程没有整数解，我们可以就此罢手。

下一步骤是取系数当中的一个（通常用最小的那个，因为这样最简单），并将方程用它的倍数来表达。

这里最小的系数是3，我们的方程可以写成3b+3s+s=（3×7）+2。

整理后我们得到s=（3×7）-3b-3s+2。

这样做的目的在于揭示出s有3t+2这样的形式，这里t是某个整数。

将s=3t+2代入我们的方程，整理出b的表达式。

我们得到

3b+4（3t+2）=23→3b=15-12t→b=5-4t.

现在，我们有了丢番图方程完备的整数解：b=5-4t，s=3t+2。

t选择任意一个整数值都给出一组解，而所有整数解都具有这样的形式。

当然，我们的原始问题还有附加的限制条件，即b和s两者都大于等于0，因为不存在负数个蜘蛛或者甲虫。

因此，只有两种可行的t值，t=0或t=1。

这给了我们两组可能的解，5只甲虫和2只蜘蛛，或者1只甲虫和5只蜘蛛。

假如我们对原题咬文嚼字，认为两种生物都必须有不止一只[6]，那么我们便得到传统的答案：5只甲虫和2只蜘蛛。