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07 向无穷和更远出发 To Infinity and Beyond（第4页）

，这迫使罗素得出结论，这样的集合不可能存在。

19世纪90年代，康托尔自己就从“所有集合组成的集合”

这个思想中发现了一个隐含的矛盾。

的确，罗素承认他的悖论受到康托尔工作的启发。

无论如何，我们从所有这些讨论中总结出的经验是：不能简单地想象数学集合可以随意引入，对于如何描述集合需要设置一些限制条件。

从那以后，集合论学家和逻辑学家一直在为这些悖论造成的后果绞尽脑汁。

这些困难最令人满意的解决方案，是现在已经成为标准的ZFC集合论（包含选择公理的策梅罗-弗兰克尔集合理论[3]）。

显微镜下的数轴

回到给定的数a和b。

再一次，令c为它们的平均值。

如果c是无理数，我们就得到了要求的数（无理数）。

另一方面，如果c是有理数，设d=c+t，这里t是上一段我们说到的无理数。

根据之前的结论，d也是无理数。

如果我们让t里面的n足够大，总可以保证d足够接近两个给定数a和b的平均值c，从而也位于它们之间。

这样，我们看到无理数同样组成了一个稠密集。

就像有理数，我们也可以推知数轴上任意两个数之间有无穷多无理数。

因此，有理数集和它的补集——无理数集，在一方面是类似的（它们在数轴上都是稠密的），在另一方面却又不同（前者是可数的，后者则不是）。

康托尔三分点集

现在，对于有理数和无理数如何织就整个实数轴，我们已经有了更清晰的认识。

有理数组成了一个可数集合，但同时也稠密地填充在数轴上。

与之相反，康托尔三分点集（iddlethirdset）是单位区间的一个不可数子集，但却是稀疏分布的。

它是如下文的构造的产物。

接下来我们将会有一个令人惊喜的发现。

取C中任意数c的三进制形式，将每个2都替换成1，我们就得到了单位区间中某个数的二进制展开式。

这在C和I的所有数（写成二进制形式）之间建立了一一对应关系。

由此可知，C的势与I相等。

由于后者是一个不可数集（由康托尔对角线论证可得），因此康托尔三分点集不仅是无穷的，还是不可数的。

于是我们就有了一个集合C，从某个意义上讲它的大小可以忽略（测度为0），但是用另一种方式估计，C又是巨大的，因为它与I——因而与整段实数轴——等势。

另外，与稠密集相去甚远，owheredense）。

回忆一下，当我们说一个像有理数这样的集合是稠密的，我们指的是当我们取一个数a时，在a附近的一个小区间里总能找到有理数，不管这个区间有多小我们都能做得到。

我们说a的任意邻域（neighbourhood）都包含有理数集的元素。

康托尔集拥有完全相反的性质——不属于C的数在数轴上可能从来不会遇上C里的数，前提条件是它们将视野限制于所在位置附近足够狭窄的区域。

想要看清这一点，取任一不在C中的数a，于是a的三进制展开式中至少有一个1：a=0.…1…，比如说第n位上的是1。

a附近有一个足够小的区间，其中的任意数b的三进制展开式有不止前n位与a的相同，那么所有这些数都不属于怪异的集合C，因为它们的三进制展开式也都包含至少一个1。