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07 向无穷和更远出发 To Infinity and Beyond（第7页）

比方说

我们得到了一个仅含有1的多层分数，并且随着计算持续进行，选出的这对相邻数之前的每对斐波那契数的比值会依次出现。

这样的现象每次都会发生：正是由于这些数的定义，每个斐波那契数都比下一个的两倍要小，因而相除之后会得到商1，余数则是前一个斐波那契数。

你也许想起来，相邻斐波那契数的比值趋近于黄金分割比——τ，这说明τ是仅由1构成的连分数的极限值。

从这个过程中产生的连分数本身就有重要意义。

当用有理数来近似任意一个无理数y的时候，我们会自然地使用y的小数表示。

这非常适用于一般的计算，但是在数学上，依附于一个特定的底数却不太自然。

本质问题在于，我们能多好地用分母相对较小的分数来逼近y。

有没有一种办法，能找到一系列的分数，既能高精度逼近y同时又保持较小的分母，在这两个矛盾的要求中取得最佳平衡？答案就在于一个数的连分数表达形式，并通过越来越多层的截断实现这一目的。

黄金分割比所提供的这个特殊例子打开了一条新的思路，即我们也许能表示其他的无理数，当然不是用有限的连分数（它们自己显然是有理数），而是用无穷连分数。

但是，怎样才能产生一个数a的连分数呢？为了看清这个过程，读者朋友可能需要容许我玩一个小小的代数上的把戏，下面就是做法。

接下来我们得到

在用有理数对无理数的逼近中，连分数的重要性在于所谓的收敛子[12]（t），即原始数的有理数近似，它们是通过截取某一层以前的连分数表达式，再求出相应的有理数来得到的。

它们代表了对原始数的最优近似，也就是说任何更好的近似的分母都将比收敛子的分母大。

黄金分割比的收敛子是斐波那契比值。

由于τ的连分数表达式中每一项都是1，这些比值收敛的速度被尽可能地延缓了。

出于这个原因，没有比τ更难用有理数逼近的数了，而斐波那契比值是你能取得的最佳结果。

[1]　通常称实数集（直线上点的集合）为连续统。

[2]　有时也称基数。

[3]　恩斯特·策梅罗（ErnstFriedriandZermelo），德国数学家。

亚伯拉罕·弗兰克尔（AbrahamFraenkel），以色列数学家。

[5]　在三进制中，0.1可用0.0222…表示。

[6]　在英文原题中，“蜘蛛”

和“甲虫”

都使用了复数形式的名词，即它们各自不止一只。

[7]　勾股数或称商高数或毕氏数。

[8]　安德鲁·怀尔斯爵士（SirAndrewWiles），英国数学家，居于美国。

[9]　谷山丰和志村五郎，均为日本数学家。

[10]　又称最简分数。

[11]　该符号表示向下取整。

[12]　又称渐进分数。