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08 并非我们熟知的数 Numbers but Not As We Know Them（第1页）

08并非我们熟知的数hem

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实数和复数

我们会很想把这些关于特定方程的烦恼都丢在一边，直接声称我们已经知道实数是什么了——它们是所有可能的小数展开式组成的集合，包括正的和负的。

这我们已经很熟悉了，在实际应用中大家也知道如何运用它们，因此我们觉得自己的位置是坚实的——至少在我们开始问一些很基本的问题之前。

数的主要特点在于你可以加、减、乘和除。

但是，举例来说，你怎样才能将两个无限不循环小数相乘呢？我们指望小数的长度有限，然后你就可以“从最右端开始”

，但对于无限小数来说没有这样的东西。

其实这是可以做到的，不过从理论和实际操作上讲它都很复杂。

如果你解释如何加和乘都非常困难的话，这个数的系统似乎就不够令人满意。

你也许会觉得上面所提出的基本问题耐人寻味，或者你会对我们的自省感到不耐烦。

毕竟，之前所有的航程都是一帆风顺的，我们似乎是在自找麻烦。

但有一点是无法忽视的。

数学家们认为，任何时候我们引入新的数学对象，重点是要从已知对象出发再构造它们，就像分数可以被看作一对普通整数。

这样，我们能够仔细地定义新推广的系统所遵循的规则，从而了解自己所处的位置。

倘若我们完全忽视基础，日后它便会出来找麻烦。

例如，微积分学脱胎于对运动的研究，它发展得极快，并且获得了光辉的成就，比如预测行星的轨道。

然而，像对待有限事物一样处理无限事物，有时候能赋予我们惊人的洞察力，有时候却完全没有意义。

将数学系统建立在坚实的基础上，我们就能学会如何分辨真假。

在实践中，数学家们经常沉迷于“形式化”

（formal）的操作，这是为了能看清远方的海面上是否会浮现出崭新的定理。

要是结果值得注意，我们就可以通过回溯基本概念和引用已经恰当地建立起来的结果，来严格地证明它。

这就是为什么尤利乌斯·戴德金（JuliusDedekind）要不辞辛苦形式化地构造实数系。

现在，我们将他的思想称为实数轴的戴德金分割（Dedekindcuts）。

不过，对于无理数存在性导致的两难问题，第一个成功提出解决方案的数学家是尼多斯的欧多克索斯（Eudoxusofidus，他活跃于公元前380年）。

借助于他所著的《比例论》（TheoryofProportions），阿基米德使用所谓的穷竭法（MethodofExhaustion）严格地推导出了弯曲形状的面积和体积，而这比微积分的发明早了大约1900年。

数的最后一块拼图——虚数单位

复数的算术可以在复平面（plexplane）内清楚地表示。

我们将复数a+bi看作坐标平面内的点（a，b）。

当我们将两个复数z=（a，b）和w=（c，d）相加时，我们只是将它们的第一和第二个元素分别相加，这给我们z+w=（a+c，b+d）。

如果我们使用符号i，那么举个例子，我们就有（2+i）+（1+3i）=3+4i。

这对应于平面上的向量和（vectoraddition），也就是有向线段（向量）首尾相加在一起（见图13）。

在这个例子里，我们从坐标为（0，in）开始到点（2，1）结束，画下第一个箭头。

要加上（1，3）代表的数，我们从点（2，1）开始再画一个箭头，表示在水平方向（即实轴的方向）向右移动1个单位，以及在竖直方向（即虚轴的方向）向上移动3个单位，最终到达坐标为（3，4）的点。

用几乎同样的方法，我们可以通过实部和虚部分别相减来定义复数的减法。