五二小说网

手机浏览器扫描二维码访问

08 并非我们熟知的数 Numbers but Not As We Know Them（第2页）

因此例如，（11+7i）-（2+5i）=9+2i。

这可以看作从向量（11，7）开始，减去向量（2，5），在点（9，2）结束。

乘法就是另外一回事了。

形式上说很容易：我们通过把括号拆开将两个复数相乘，记住i2=-1。

假设乘法分配律（DistributiveLaw）仍然成立，这让我们能用通常的方法打开括号，那么乘法如下：

（a+bi）（c+di）=a（c+di）+bi（c+di）

=ac+adi+bci+bdi2=（ac-bd）+（ad+bc）i.

我们可以用一般化的复数，而不是具体的数值，来将复数相除的结果表示成普适的形式，它由两个数的实部和虚部构成，就像我们在复数乘法中做的一样。

不过，只要理解了这一技巧，我们就不一定非要推出并记住最后的公式了。

我们如果把坐标系从普通的直角坐标转换成极坐标（polarates），就会发现乘法有了一种几何解释。

在这个系统中，一个点z依然由一个有序数对所确定，我们将其写作（r，θ）。

数r是从原点O，在这里叫作极点（pole），到我们的点z的距离。

因此r是一个非负的量，所有具有相同r值的点形成一个圆心在极点、半径为r的圆。

我们用第二个坐标θ来表示z在这个圆上的位置，θ是从实轴到Oz这条线逆时针方向走过的角度。

数r称为z的模（modulus，复数形式为moduli），而角度θ称作z的辐角（argument）。

假设现在我们有两个复数，z和w，它们的极坐标分别为（r1，θ1）和（r2，θ2）。

我们发现，它们的积zw的极坐标有一个简单美妙的形式。

组合的规则甚至可以用日常语言清晰地表述出来：积z的辐角为z和w的辐角之和。

用符号表示，zw的极坐标为（r1r2，θ1+θ2）。

实数的乘法包含在这个更一般的规则里：比如，一个正实数r拥有极坐标（r，0）。

如果我们乘上另一个数（s，0），结果是意料之中的（rs，0），对应于实数rs。

这个表示方式能够更充分地体现复数乘法的特点。

复数单位i的极坐标是（1，90°）。

通常，在这些情况下，我们并不用度数来度量角，而是用自然的数学单位弧度（radian）：一个圆有2π弧度，因而转动一弧度相当于沿着中心在原点的单位圆的周长移动一个单位。

一弧度大约是57.3°。

假设我们现在取任意复数z=（r，θ），乘以i=（1，90°），我们发现zi=（r，θ+90°）。

也就是说，乘以i相当于绕着复平面的中心旋转一个直角。

再换个说法，直角，这个最基本的几何思想，可以用一个数来表示。

的确，若是将复平面的一个给定区域内的所有点加上或乘以一个复数z，这一效果可以用几何方法来表示。

想象平面内任意一个你喜欢的区域，如果给区域内的每一点都加上z，我们就只是将每个点都往同一个方向移动相同的距离，这个方向和距离是由z代表的箭头——或者我们经常说的向量——来决定的。

也就是说，我们将这个区域平移（translate）到平面上的另一个位置，而它的形状、大小和姿态都保持不变，这里姿态不变是指该区域没有经过任何旋转或反射。

但是，将你的区域中每个点都乘以z=（r，θ）则有两个效果，一个由r引起，另一个由θ造成。

区域内每个点的模都增大r倍，因此该区域的所有尺寸也都增大了r倍（因而它的面积乘了因数r2）。

当然，如果r＜1，那么我们最好把这个“扩张”

描述成收缩，因为新的区域会比原来的小。

不过，区域将保持它的形状——例如，一个三角形会被映射为一个相似的三角形，它的各个角和以前一样大。

θ的作用就像我们上面已经解释过的，是将区域沿逆时针方向绕极点转过角度θ。