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08 并非我们熟知的数 Numbers but Not As We Know Them（第5页）

假设有一个复数的无穷数列，它的各项往越来越小的圆圈里聚集，圆圈的半径趋向于0，我们称这个数列是收敛的（t）。

任何复数的收敛数列都趋近于一个极限复数。

这对实数来说也是真的，但不适用于有理数——对于任何无理数，其相继的小数近似都代表了一个有理数的数列，这个数列趋近于一个有理数范围之外的极限。

另外，C在代数意义上是完备的（或者说是封闭的），意思是可以证明，任何多项式方程p（z）=a+bz+=0都有n个（复数）解：z1，z2，…，zn，这使得p（z）自己可以彻底地因式分解为p（z）=（z-z1）（z-z2）-（z-zn）。

复数在这里和其他问题上获得了出人意料的成功，这在很大程度上消除了将数系进一步拓展到复平面以外的需求。

事实上，要想构造一个范围更大的数字系统，从而在包含C同时又保留代数中所有的常规法则，这是不可能实现的。

并且，只有两个推广的系统能做到保留一些代数结构，即四元数（quaternion）和八元数（o）。

虽然它们的使用不如复数来得广泛，但是四元数在某些领域中得到了应用，比如三维计算机图形学。

八元数可以看作一对四元数，它们不仅缺乏乘法的可交换性，甚至连乘法的可结合性质也丢失了。

一个四元数是形如z=a+bi+cj+dk的数，第一部分a+bi是一个普通的复数，同时两个四元数单位（quaternionunit）j和k满足j2=k2=-1。

为了进行四元数的乘法，我们需要知道虚单位量如何相乘，这由以下规则决定：ij=k，jk=i，ki=j，不过反过来的积拥有相反的符号，比如ji=-k。

其实，所有这些积都可以通过一个额外的方程：ijk=-1来推出。

于是，四元数构成了一个增广了的代数系统，这个系统满足除乘法交换律以外的所有代数法则，失去交换律的原因在于上面提到的反向相乘时符号的变化。

这个系统的相容性也可以通过2×2的矩阵表达来显示，不过这次我们不仅有实的元素，同时还允许出现复元素。

数1再一次对应于单位矩阵I，但是单位量i，j和k则对应于矩阵：

而典型的四元数z有矩阵形式：

然而，这种将四元数表为矩阵的方法不是唯一的。

其实，复数的矩阵表达也有其他等价的形式。

甚至，表示四元数还可以不用复数，只不过这要以使用更大的矩阵为代价：四元数可以表为某些只含有实数的4×4矩阵。

有时我们需要进行一些运算，其结果却不能被现有的数系所容纳，对这类计算的需求催生了新类型的数和对旧系统的推广。

每个文明都是从自然数开始的，涉及数的片段的计算产生了分数，涉及债务的计算引出了负数，以及正如毕达哥拉斯发现的，涉及长度的计算产生了无理数。

并非所有关于数的事务都能用整数以及它们的比值来处理，虽然这一发现已经十分久远，但这个事实依然深刻又微妙。

随着科学变得越来越复杂，所需要的数的系统也必须成熟起来，才能处理这些进展。

科学家们一般不会异想天开地主动创造新的数系，相反，在一开始，这些新数常常是被不情愿地、犹豫不决地引进来，用以应付科研中遇到的难题。

例如，虽然在19世纪就被引入，矩阵直到20世纪初才在量子力学中取得了不容置疑的地位，当时的科学家们遇到了一个形如q=AB-BA却又不为0的量。

在其他可交换的数系中，q当然会是0，因此这里需要的是一种他们以前从没遇到过的数值对象：它们是矩阵。

现在，看起来似乎数学和物理的世界已经拥有足够多种类的数了。

虽然还存在本书没有提到的数的类型，但是自20世纪上半叶以来，我们还不需要对数学和科学中常用的数进行大的改造。

本书中我们对数学进行了一次热气球观光之旅，伴随着以上的观察结果，我们也到该说再见的时候了。

我们从地面出发，渐渐升到了空中，我希望从这个高度上，丰富多彩又神秘莫测的数的世界能够吸引读者朋友的注目。

全书完

[1]　数学中抽象代数的一支。