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08 并非我们熟知的数 Numbers but Not As We Know Them（第4页）

剪切是指让点平行于一根固定的轴移动，移动的长度与每个点到固定轴的距离成正比，就类似于一本书的各页可以依次滑动那样。

对于任意一连串这样的变换，其效果都可以通过将所有对应的矩阵乘在一起来体现，这会给我们一个单独的矩阵，它包含了所有这些变换依次执行之后的最终效果。

就像我们已经看到的那样，得到矩阵的各行正是两个点（1，0）和（0，1）经过变换后得到的像。

这两个点称为基向量（basisvector）。

现在，对于代表绕原点逆时针旋转直角的矩阵J，我们自然地认为它应该模仿乘以虚单位i时我们观察到的数的行为。

因为点（1，0）被转到了点（0，1），类似地点（0，1）移动到了（-1，0），所以这两个新向量组成了矩阵J的行。

将J平方可得一个矩阵，它的几何效果是把点绕原点转过2×90°=180°。

下面我们就通过乘法来计算这个矩阵。

例如，要找出J2右下角的元素，我们取第二行和第二列的点乘，即（-1）×1+0×0=-1+0=-1。

完整的计算如下：

矩阵I的行是（10）和（01），它是单位矩阵（identitymatrix）。

这么称呼是因为它就像数1一样，当乘另一个矩阵A时结果还是A。

矩阵-I代表了绕原点半周，它的行为类似于-1，同时（-I）2=I。

所有这些性质的最终结果是，对于实数a和b，矩阵aI+bJ在加法和乘法的意义上很好地模仿了复数a+bi的行为，因此它给出了复数域的一个矩阵表示。

对应于典型的复数a+bi的矩阵是

代表复数的矩阵是满足乘法交换律的。

当然就像之前提到的，这并不能推广到所有矩阵的乘积。

另一个矩阵会出问题的地方是并非所有矩阵都能“逆转”

。

对于大部分方阵A（一个行数和列数相等的矩阵），我们可能找到一个唯一的逆矩阵（irix）B，使得AB=BA=I。

但是，逆矩阵存在与否，取决于一个单独的数。

这个数与相应的方阵联系在一起，叫作它的行列式（determinant）。

笼统地说，从矩阵的每行各取一个数，使它们占据不同的列，将它们相乘并赋予不同的符号，再将所有可能的这样的乘积相加，就得到了行列式。

对于前文介绍的典型的2×2矩阵，行列式即为数Δ=ad-bc。

行列式用处很多，它具有优良的性质。

例如：Δ代表了对应的变换的面积缩放因数：一个面积为a的形状经过一个行列式为Δ的矩阵所对应的变换，会变为面积为Δa的形状（倘若Δ为负，这个形状还会经过一次反射，将原始的朝向颠倒过来）。

另外，两个方阵乘积的行列式，是这些矩阵行列式的乘积。

在Δ=0时，方阵A没有逆矩阵；除此情况之外，A有逆矩阵B。

行列式为0在几何上对应于一个退化的（degee）变换，这时变换后得到的图形面积为0，比如说一条线段，甚至是一个单独的点。

对于一个复数z=a+bi的矩阵，我们注意到Δ=a2+b2，它永远不为0，除了z=0的时候。

当然，以前0从来没有倒数，这在更广阔的复数的世界里也仍然适用。

不过，这也确认了每个非零的复数都有一个倒数。

到这里，我们已经站在了一个广阔世界的边缘，前方是线性代数、表示论[1]以及它们在多元微积分里的应用。

我们就不再往远处走了。

但是，读者应该知道矩阵其实不仅仅适用于三维，还适用于n维空间，通常这是通过n×n大小的矩阵实现的。

虽然这些阵列变得更大更复杂了，但是矩阵自己依然是一个二维的数值对象。

复平面以外的数

在两个重要的意义上，所有复数组成的域plete）。