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3傅里叶级数数学一（第1页）

.3傅里叶级数（数学一）

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考试要点剖析

【大纲要求】了解Fourier级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[－l，l］上的函数展开为Fourier级数，会将定义在[0，l］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出Fourier级数的和的表达式.

一、基本概念

1.　周期为2π的Fourier级数

若函数f（x）是周期为2π的函数，则

a02+∑∞n=1（ansinnx）

其中an=1π∫π－πf（x）=1π∫π－πf（x）sinnxdxn=0，1，2，…称为f（x）的以2π为周期的Fourier级数.an，bn称为傅里叶系数

记为f（x）~a02+∑∞n=1（ansinnx）.

【概念理解点拨】（1）　根据周期函数的性质：

an=1π∫a+2πaf（x）=1π∫a+2πaf（x）sinnxdx

（2）　根据奇偶函数的性质

当f（x）是奇函数时，f（x）~∑∞n=1bnsinnx；（正弦级数）

当f（x）是偶函数时，f（x）~a02+∑∞n=1anx（余弦级数）

二、狄利克雷收敛定理

设函数f（x）是周期为2π的可积函数，且满足

（1）　f（x）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

（2）　f（x）在一个周期内至多有有限个极值点

则f（x）的以2π为周期的Fourier级数是收敛，且和函数S（x）满足

S（x）=f（x），x是f（x）的连续点，

f（x－0）+f（x+0）2，x是f（x）的间断点，

f（－π+0）+f（π－0）2，x=±π.

三、函数展开成傅里叶级数

【情形1】设以

2l为周期的周期函数

f（x）在

[-l，l]上可积，则

f（x）的傅里叶级数为

f（x）~a02+∑∞n=1ansinnπxl．

其中系数

an=1l∫l－lf（x）πxldx，bn=1l∫l－lf（x）sinnπxldx（n=0，1，2…）

【例9.13】设f（x）是周期为2π的周期函数，且在一个周期内的表达式f（x）=－1，－π