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第50章 二十分钟搞定二试这速度实在太不可思议了啊（第1页）

【第三题（45分）】

【设f:?→?是严格递增函数，满足f（1）=1且对任意正整数n，有f（f（n））=f（n）+n。

求f（n）的表达式。

】

江辰扫了一眼。

“函数方程题，经典题型。”

他几乎没思考，直接写：

“解：先求前几项。

由f（1）=1，代入n=1得f（f（1））=f（1）+1，即f（1）=1+1=2，矛盾？因为f（1）=1，所以f（f（1））=f（1）=1，右边f（1）+1=2，1=2矛盾？”

江辰愣住了。

“题目出错了？”

他重新读题：“f:?→?是严格递增函数，满足f（1）=1且对任意正整数n，有f（f（n））=f（n）+n。”

代入n=1：f（f（1））=f（1）+1→f（1）=1+1=2，但f（1）=1，矛盾。

“这……”

江辰皱眉。

三秒后，他明白了。

“哦，f（1）=1，但f（f（1））=f（1）吗？不，f（1）=1，所以f（f（1））=f（1）=1，右边应该是1+1=2，確实矛盾。”

“除非……题目中的?是正整数，但可能包含0？或者f（1）=1是初始条件，但函数方程对n≥2成立？”

他继续往下想。

“先假设题目没错，那么矛盾说明我的推理有问题。

f（f（n））=f（n）+n，当n=1时，f（f（1））=f（1）+1=2，所以f（f（1））=2。”

“而f（1）=1，所以f（1）=1，那么f（f（1））=f（1）=1，但需要等於2，所以必须f（1）≠1？可题目明確说了f（1）=1。”

江辰感觉脑子有点乱。

“这题……有问题？”

他决定先跳过，看第四题。

【第四题（45分）】

【设p是奇素数，a?，a?，…，a_p是整数。

证明：存在整数k（1≤k≤p）使得∑_{i=1}^p（a_{i+k}-a_i）2能被p2整除，这里下標模p理解（即a_{p+1}=a_1等）。

】

江辰看完，眼睛一亮。

“数论组合题，有点意思。”

“∑（a_{i+k}-a_i）2=∑a_{i+k}2-2∑a_{i+k}a_i+∑a_i2=2∑a_i2-2∑a_{i+k}a_i，因为∑a_{i+k}2=∑a_i2。”

“所以要证存在k使2∑a_i2-2∑a_{i+k}a_i≡0modp2，即∑a_i2≡∑a_{i+k}a_imodp22？不对，模p2。”

“即证存在k使∑a_{i+k}a_i≡∑a_i2modp2。”

“记s_k=∑a_ia_{i+k}，要证存在k使s_k≡s_0modp2，其中s_0=∑a_i2。”

“这等价於证存在k使s_k-s_0≡0modp2。”

“考虑所有k的s_k之和？或者用多项式方法……”

江辰脑子飞速转动。

十秒后，他有了思路。

“用傅立叶变换（离散傅立叶变换）。”