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第50章 二十分钟搞定二试这速度实在太不可思议了啊（第2页）

“设a（x）=∑a_ix^i（多项式），则s_k是a（x）a（x^{-1}）中x^k项的係数？不对，循环卷积。”

“实际上，s_k=∑a_ia_{i+k}是序列{a_i}的自相关函数。”

“要证存在k使s_k≡s_0modp2。

如果所有s_k≡s_0modp2都不成立，那么所有s_k-s_0≡0modp2都不成立……”

“用反证法：假设对所有k都有s_k?s_0modp2，则s_k-s_0≡r_kmodp2，其中r_k是1到p2-1之间的数。”

“考虑∑_{k=1}^p（s_k-s_0）=∑_k∑_ia_i（a_{i+k}-a_i）=……”

江辰在草稿纸上快速计算。

两分钟后，他找到了关键等式。

“有了！

∑_{k=1}^ps_k=p∑a_i2，所以∑_{k=1}^p（s_k-s_0）=p∑a_i2-p∑a_i2=0。”

“但如果每个s_k-s_0都不被p2整除，它们的和模p2不可能为0，矛盾。”

“所以存在k使p2整除s_k-s_0。”

“严谨化：设b_i=a_imodp，考虑模p下的序列{b_i}，用类似论证可得存在k使∑b_ib_{i+k}≡∑b_i2modp，然后提升到模p2……”

四分钟，第四题搞定。

江辰看了眼时间：9:50。

第四题做完，还剩第三题。

他回过头看第三题。

“函数方程f（f（n））=f（n）+n，f严格递增，f（1）=1。”

“代入n=1得f（1）=2，矛盾。

所以要么题目错了，要么我的理解错了。”

江辰想了想，突然灵光一闪。

“等等，f是?→?，?通常指正整数，但有时也包含0。

如果包含0，那么f（0）可能存在。”

“设f（0）=c，则f（f（0））=f（c）=f（0）+0=c，所以f（c）=c。”

“由f严格递增，f（0）=c，f（1）=1，如果c＜1，则f（0）＜f（1），但0＜1，可以。

c必须是整数，所以c=0。”

“那么f（0）=0，f（1）=1，代入n=1：f（f（1））=f（1）+1=2，所以f（1）=2？但f（1）=1，矛盾。”

“还是矛盾。”

江辰皱眉。

“除非……f（1）不是1？但题目明確说了f（1）=1。”

他决定换个思路。

“假设f（1）=1，那么f（f（1））=f（1）=1，但方程要求f（f（1））=f（1）+1=2，矛盾。”

“所以题目一定有印刷错误？或者?是自然数集包括0，且f（0）=1？”

“设f（0）=1，那么f（1）是多少？由严格递增，f（1）＞f（0）=1。”

“代入n=0：f（f（0））=f（1）=f（0）+0=1，所以f（1）=1，但f（1）＞1，矛盾。”

“也不行。”

江辰感觉这题像个死胡同。

他看了眼时间，9:52。

“算了，先按標准方法解，假设f（1）=1成立，忽略n=1的矛盾。”

“令g（n）=f（n）-n，则方程变为f（f（n））=f（n）+n→f（n+g（n））=n+g（n）+g（n）=n+2g（n）。”