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第50章 二十分钟搞定二试这速度实在太不可思议了啊（第3页）

“但f（n+g（n））又等於f（f（n））=f（n）+n=n+2g（n），自洽。”

“由严格递增，g（n）非负且递增？不一定。”

“尝试求前几项：设f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=1，但方程要求等於2，所以矛盾。

跳过n=1。”

“从n=2开始：f（f（2））=f（2）+2，设f（2）=a，则f（a）=a+2。”

“由严格递增，f（1）=1＜f（2）=a，所以a≥2。”

“f（3）=b，则f（b）=b+3，且b＞a≥2。”

“继续推导……”

江辰在草稿纸上列出一串等式。

两分钟后，他猜出了答案。

“f（n）=φn+ψ，其中φ是黄金比例（1+√5）2？不对，必须是整数函数。”

“实际上，经典解是f（n）=?φn?或类似形式，但需要验证。”

他快速验证了一下。

“设φ=（1+√5）2≈1.618，则φ2=φ+1。”

“如果f（n）=?φn?，则f（f（n））=?φ?φn??≈φ2n=φn+n=f（n）+n，近似成立。”

“但严格成立需要数论性质，这是经典的beatty序列。”

江辰决定直接写答案：

“解：f（n）=?φn?，其中φ=（1+√5）2，且n≥1时成立。

验证：由beatty定理，?φ?φn??=?φ2n?=?（φ+1）n?=?φn+n?=?φn?+n=f（n）+n，当φn不是整数时成立，而φ是无理数，φn永不为整数，故等式成立。”

“但需要验证严格递增：显然。”

“f（1）=?φ?=1，满足。”

写完，江辰鬆了口气。

“这题真他妈绕。”

看了眼时间：9:55。

四道题，十五分钟搞定。

这时候交卷，会不会太早了些？

且阅卷老师看了，会不会不够惊艷？

不行，还得露一手。

江辰没有立马交卷，而是又將目光投向最后一道压轴题。

“这题，解法有很多，刚才只是用了最常见的一种！”

“还有第二种……”

“第三种……”

五分钟后。

10:00整。

他举手。

“老师，交卷。”

……

考场里一片寂静。

所有人抬起头，看著江辰，眼神复杂。

有惊讶，有疑惑，更多的是……不屑。