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十一假如我们有十二根手指（第5页）

例如：十进法的一万四千五百二十九要改成十二进法，只需这样做就成了。

照前面说过的用t表示10，那么便得：

十进法的14529=十二进法的84t9

读起来是八仟四佰梯什九，原来是五位，这里却只有四位，所以说有些数用十二进法记数比用十进法简单。

反过来要将十二进法的数改成十进法的怎样呢？这却有两种办法：一是照上面一样用t去连除；二是用十二去连乘。

不过对于那些用惯了十进数除法的人来说，第一种方法与老脾气有些不合，比较不便当。

例如要改七仟二佰一什五成十进法，那就是这样：

上面的方法，虽只是一个例子，其实计算的原理已经很明白了，若要给它一个一般的证明，这也很容易。

设在r1进位法中有一个数是N，要将它改成r2进位法，又设用r2进位法记出来，各位的数字是a0，a1，a2……an_1，an，则

这个式子的两边都用r2去除，所剩的数当然是相等的。

但在右边除了最后一项，各项都有r2这个因数，所以用r2去除所得的剩余便是a0，而商是anr2n?1+an-1r2n?2+……+a2r2+a1。

再用r2去除这个商，所剩的便是a1，而商是anr2n?2+an-1r2n?3+……+a2。

又用r2去除这个商，所剩的便是a2，而anr2n?3+an-1r2n?4+……+a3照样做下去到剩an为止，于是就得：

三

倘若我们一直是用十二进位法记数的，在数学的世界里将有什么变化呢？

不客气地说，毫无两样，因为数学虽是从数出发，但和记数的方法很少有关联。

若客气点儿说，那么这样便很公平合理了。

算理是没有两样的，只是在数的实际计算上有点儿出入。

最显而易见的就是加法和乘法的进位以及减法和除法的退位。

自然像加法和乘法的九九表便应当叫“依依”

表，也就有点儿不同了。

例如：（24e2-t78）×143

上面的算法（1）是减，个位2减8，不够，从什位退1下来，因为上位的1等于下位的12，所以总共是14，减去8，就剩6。

什位的e（11）退去1剩t（10），减去7剩3。

佰位的4减去t，不够，从仟位退1成16，减去t（10）便剩6。

（2）先是分位乘，3乘6得18，等于12加6，所以进1剩6。

其次3乘3得9，加上进位的1得t……再用4乘6得24，恰是2个12，所以进2剩0。

其次4乘3得12，恰好进1，而本位只剩下进来的2……三位都乘了以后再来加。

末两位和平常的加法完全一样，第三位6加2加6得14，等于12加2，所以进1剩2。

再来看除法，就用前面将十二进法改成十进法的例子。

这计算的结果和上面一样，也是12401。

至于计算的方法：在第一式t（10）除72商8，8乘t得80，等于6个12加8，所以从72中减去68而剩6。

其次t除61商7，7乘t得70，等于5个12加10，所以从61减去5t剩3。

再次t除35商4，4乘t得40，等于3个12加4，所以从35中减去34剩1。

第二、第三、第四式和第一式的算法完全相同，不过第四式的被除数10是一什，在十进法中应当是12，这一点应当注意。

照这除法的例子看起来，十二进法好像比十进法麻烦得多。

但是，朋友！