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十三集合论（第5页）

的话。

我们来想象一个总集，含有无限个单元，比如整数的总集：

1，2，3，4，5……n，（n+1）……

这是非常明白的，它的次数比一切含有有限个数单元的总集都高。

我们现在要紧的是将它和别的无限总集比较，就用偶数的总集吧：

2，4，6，8，10……2n，（2n+2）……

这就有些趣味了。

照我们平常的想法，偶数只占全整数的一半，所以整数的无限总集当然比偶数的无限总集次数要高些，不是吗？十个连续整数中，只有五个偶数，一百个连续整数中也不过五十个偶数，就是一万个连续整数中也还不过五千个偶数，总归只有一半。

所以要成“一对一”

的关系，似乎有一面是不可能的。

然而，你错了，你不能单凭有限的数目去想，我们现在是在比较两个无限的总集呀！

“无限”

总有些奇怪！

我们试将它们一个对一个地排成两行：

1，2，3，4，5……n，（n+1）……

2，4，6，8，10……2n，（2n+2）……

因为两个都是“无限”

的缘故，我们自然不能把它们通通都写出来。

但是我们可以看出来，第一行有一个数，只要用2去乘它就得出第二行中和它相对的数来。

掉一个头，第二行中有一个数，只要用2去除它，也就得出第一行中和它相对的数来。

这个“一对一”

的关系不是无论用哪一行做基础都可能吗？那么，我们有什么权利来说这两个无限总集不一样呢？

整数的无限总集，因为它是无限总集中最容易理解的一个，又因为它可以由我们一个一个地列举出来（由于永远举不尽），所以我们替它取一个名字叫“可枚举的总集”

（L’ensembledé_nombrale）。

我们常常用它来做无限总集比较的标准，凡是次数和它相同的无限总集，都是“可枚举的无限总集”

——单凭直觉也可以断定，整数的无限总集在所有的无限总集当中是次数最低的一个，它可以被我们用来做比较的标准，也就是这个缘故。

在无限总集当中，究竟有没有次数比这个“可枚举的无限总集”

更高的呢？我可以很爽快地回答你一个“有”

字。

不但有，而且想要多少就有多少。

从这个回答中，我们对于“无限”

算是有些认识了，不像以前一样模糊了。

这个回答，我供认不讳地说，也是听来的。

康托尔（tor）是最初提出它来的，这已是三十多年前的事了。

在数学界中，他是值得我们崇敬的人物，他所创设的集合论，不但在近代数学中占了很珍贵的几页，还开辟了数学进展的一条新路径，使人不得不对他铭感五内！

人间的事，说来总有些奇怪，无论什么，不经人道破，大家便很懵懂。

一旦有人凿穿，顿时人人都恍然大悟了。

在康托尔以前，我们只觉得无限就是无限，吾生也有涯1，弄不清楚它就算了。

但现在想起来，实在有些可笑，无须什么证明，我们有些时候也能够感觉到，无限总集是可以不相同的。

又来举个例子：比如前面我们用来决定点的位置的直线，从O点起，尽管伸张出去，它所包含的点就是一个无限总集。