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03 历史概要 Historical Sketch（第5页）

俄罗斯学派

一个数学定理具有这样的特征：如果某一个假设是成立的，那么一个预期的结论就会产生。

我们主要的兴趣在于应用这个预期的结论，所以所需的假设最好不要太复杂。

有时候预期的结论只存在于非常具有限制性的假设的情况下，或者极其难被证明：之后的研究者也许会找到使用相同假设的更简单的方法，或者在较少的限制性条件下得到相同的结论。

最好的情况是结论在非常宽松的假设成立时，能被简短而优美地证明。

巴夫尼提·切比雪夫（PafnutyChebychev）的工作给出了这种理想情形的良好案例。

切比雪夫展示了如何在更广泛的情况中应用大数定律。

最初的大数定律和伯努利试验有关，它描述了在一系列试验中事件发生次数的比例能够多么合适地用于估计事件发生的概率。

如果我们想估计入伍士兵的平均身高，或者一个家庭一周的消费，我们似乎可以很明显地从相关人员中抽取合适的样本。

但是这种估计有多合适呢？切比雪夫的工作给出了误差足够小以使得估计可靠的概率。

很多统计结果都是这些想法的应用。

切比雪夫最知名的学生是安德雷·马尔可夫（AndreyMarkov），马尔可夫的教学启发了又一代极有天赋的俄国人。

马尔可夫将他的想法应用于诗歌和文学作品。

在将亚历山大·普希金（AleksandrPushkin）的《叶甫盖尼·奥涅金》（EugeneOnegin）中的元音字母（vowel）和辅音字母（t）分别替换为字母v和c之后，马尔可夫得到了一个只含有这两个字母的序列。

在原始的基里尔字母[3]中，元音字母占有43%的文字比例。

在一个元音字母之后，另一个元音字母出现的频率是13%，而在辅音字母之后，元音字母出现的频率是66%。

在预测一个字母之后的字母是元音还是辅音的过程中，他发现，已知当前的字母时可以忽略它前面所有的字母，因为它们基本不构成影响。

这个“可以忽略”

的特性广泛存在。

有一些例子：赌徒手中的一系列连续的赌金数额；特拉维夫（TelAviv）每天的天气（干或者湿）；在每一个顾客离开时队列的长度；连续世代的基因组成；两个相连的容器中的气体扩散过程。

如果知道序列中的前一个值，要预测随机变化序列的下一个值的时候，我们都可以忽略更前面的那些值，那么这个序列被称为具有马尔可夫性质（Markovproperty）。

描述这种序列的理论已经很好地发展起来了，这些理论也是许多概率成功应用的基础。

马尔可夫在政治上非常活跃，对数学史也知之甚详。

1913年，俄国政府组织了罗曼诺夫改革300周年的庆祝活动，马尔可夫相应地开展了对伯努利发现第一个大数定律200周年的纪念活动。

这里我偏离一下主题，讨论一下在20世纪早期，法国人埃米尔·博雷尔（émileBorel）的工作。

回想伯努利试验中的大数定律：在大量试验中，实际事件发生的频率有极大的特别接近于事件发生概率的可能性。

但是这仍然留下了这样的可能：在无限次的试验中，实际事件发生的频率极其偶尔地会落到事件发生频率附近任意给定的公差带之外。

但是博雷尔的工作完全消灭了这种概念难题。

任意给定公差带，一定会有一个时刻（我们不知道什么时刻，但是的确有那么一个时刻），在这个时刻之后，实际事件发生的频率就会永久地停留在公差带内部。

这被称为强大数定律（theStrongLaweNumbers）。

图3　强大数定律图示。

p是事件发生的概率，虚线表示公差带。

在T次试验之后，实际的事件发生的频率永久地停留在公差带内部

这个强大数定律也会延伸到更广阔的情境中。

我们可以将大数定律的含义浓缩到一个不正式的习语中：

从长远来看，平均统领一切。

在1924年，亚历山大·辛钦（AlexanderKhin）发表了命名极佳的《重对数律》（LawoftheIteratedLogarithm）。

就像伯努利和拉普拉斯的早期工作一样，这个理论应用于一个以和的形式出现的随机数量时，它可以给出更加精确的有关这个和会多么接近其平均值的信息。