五二小说网

手机浏览器扫描二维码访问

04 概率试验 Chance Experiments（第2页）

图4举例说明了一些常见的离散分布。

对于每一个可能的数值，竖线的高度给出了它的概率，并且这些高度的和总是单位1。

连续分布

我们如何拓展古典的概率观点来解决在一个长度为80cm的木棍上随机选取一个点的试验？可能的结果组成一个连续统（），而不只是一个列表。

“随机”

意味着所有单独的点都具有相同的概率值。

但如果这个相等的值超过了0，那么，在取了足够多的点之后，它们的总概率就会超过单位1，这是不可能的。

每个单独的点的概率一定是0，我们也不能使用像图4一样的图片了。

我们需要将概率、片段或者区间相关联，而不是将概率和单独的点相关联。

为了对80cm的木棍的每一部分一视同仁，所有具有相同长度的片段一定有相同的概率。

想象一下将木棍砍成8个相等的片段：按照定义，一个“随机的”

点落在每个片段上的概率一定相同，举例来说，落在20~30cm的片段上一定具有18的概率。

图5a展示了下一步操作，这可以用口头禅“面积表示概率”

表述。

标注了h的水平线的高度是设定好的，这条线下阴影部分的面积是单位1，这呈现了一个事实，我们可以百分百地确定随机点落在区间0~80cm中的某处。

接着图5b展示了如何确定随机点落在32~52cm的片段上的概率，只需要计算对应的阴影面积即可。

简单地说，这个概率是14。

要得出随机选择的点落在木棍两端10内的概率，我们就可以使用图5c，并且依据加法定理，要求的概率是三个阴影面积的和，也就是12。

图5a　阴影面积是单位1

图5b　落在32~52cm之间的概率是14

图5c　见正文

图6展示了对结果取连续值的另一些情况下相似的解决方式，例如一段特定的高速公路上下一次事故发生需要的时间。

我们会在下面论证展示图片上的曲线在这种情况下是合理的，但核心观点是图线的尺度是特意选择好的，以至于标注了“时间”

的直线以上，和以点E为起始端点的曲线以下的总面积是单位1，因为我们可以百分百确定我们考察的这段时间一定取非负值。

图6　连续分布

时间至少是B但不大于C的概率就是阴影的面积。

我们可以用类似的方式得到考察的时间落在任意给定区间内的概率，还能像之前一样根据加法定理，得到落在更复杂区间内的概率。

一个能按照这种方式生成概率的曲线被称为概率密度（probabilitydensity）。

已知面积的计算方式是“长乘以宽”

，任何直线的宽度都是0。

因此图6中在点A或者点D的竖直线的“面积”

都是0，所以这两个单独的点具有0值的概率，就像之前提过的那样。

但是点A的密度曲线比点D高，所以点A附近的值比点D附近的值更可能。

简单地说，图片表明具有或高或低的概率的区域。

在这里我们使用连续分布（uousdistribution）这个术语。